[论文解读] A Stepwise Planned Approach to the Solution of Hilbert's Sixth Problem. I : Noncommutative Symplectic Geometry and Hamiltonian Mechanics

Tulsi Dass|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 59被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于非交换辛几何与拓扑超代数的非交换哈密顿力学（NHM）框架，旨在统一物理学与概率论，解决希尔伯特第六问题。当结合两个非超交换辛超代数时，该形式体系自然地涌现出一个普遍的普朗克常数，从而在统一力学框架内，为量子力学提供了基础且自洽的表述。

ABSTRACT

This series of papers is devoted to an open-ended project aimed at the solution of Hilbert's sixth problem (concerning joint axiomatization of physics and probability theory) proposed to be constructed in the framework of an all-embracing mechanics. In this first paper, the bare skeleton of such a mechanics is constructed in the form of noncommutative Hamiltonian mechanics (NHM) which combines elements of noncommutative symplectic geometry and noncommutative probability in the framework of topological superalgebras; it includes, besides NHM basics, a treatment of Lie group actions in NHM and noncommutative analogues of the momentum map, Poincar$\acute{e}$-Cartan form and the symplectic version of Noether's theorem. Canonically induced symplectic structure on the (skew) tensor product of two symplectic superalgebras (needed in the description of interaction between systems) is shown to exist if and only if either both system superalgebras are supercommutative or both non-supercommutative with a `quantum symplectic structure' characterized by a \emph{universal} Planck type constant; the presence of such a universal constant is, therefore, \emph{dictated} by the formalism. This provides proper foundation for an autonomous development of quantum mechanics as a universal mechanics.

研究动机与目标

• 为希尔伯特第六问题所提出的物理学与概率论的统一、公理化框架。
• 构建一种非交换哈密顿力学（NHM），使其能自洽地将量子力学作为子学科纳入其中。
• 在拓扑超代数设定下，统一非交换辛几何与非交换概率论。
• 确立普遍普朗克常数的存在性，作为相互作用系统上辛结构的正式推论。
• 在单一、一致的形式体系中，为量子-经典对应关系与测量提供基础。

提出的方法

• 在拓扑超代数上发展基于超导子的微分演算，以推广微分形式与映射。
• 通过超代数上的泊松括号与辛形式引入非交换辛结构，推广经典哈密顿力学。
• 在超代数框架下，利用态空间与由哈密顿泛函驱动的演化定义非交换哈密顿动力学。
• 在两个辛超代数的（反）张量积上构造自然诱导的辛结构。
• 利用超代数上的李群作用，推广非交换版本的动量映射、庞加莱-卡尔坦形式与诺特定理。
• 证明：两个超代数的张量积上的辛结构仅在两者均为超交换或均为非超交换且具有普遍普朗克常数时才存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个非交换辛超代数的张量积上存在辛结构？
• RQ2 如何从非交换辛几何的形式体系中推导出普遍普朗克常数，而非人为假设？
• RQ3 非交换哈密顿力学以何种方式将经典力学与量子力学统一为子学科？
• RQ4 在非交换设定下，通过广义诺特定理，对称性与守恒律如何涌现？
• RQ5 是否可以在非交换哈密顿框架内，无需预先假设经典极限，对相互作用的量子系统进行一致描述？

主要发现

• 两个辛超代数的（反）张量积上存在自然诱导的辛结构，当且仅当两者均为超交换，或均为非超交换且具有普遍普朗克常数。
• 普遍普朗克常数的存在由相互作用系统上一致辛结构的要求所正式决定，该常数自然地从形式体系中涌现。
• 非交换哈密顿力学（NHM）提供了一个统一框架，使经典力学与量子力学均作为其特殊子学科自然出现。
• 非交换动量映射与辛形式的诺特定理已成功推广至超代数设定。
• 在NHM中，量子-经典相互作用的缺失并非问题，因为经典系统可作为同一形式体系内的半经典近似处理。
• 该形式体系允许量子力学的自洽、自足发展，无需依赖经典基础，其中量子系统由可观测量与纯态之间的相互相容性定义。