[论文解读] A stochastic approximation method for chance-constrained nonlinear programs

Rohit Kannan, James Luedtke|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文提出一种随机逼近方法，通过将机会约束非线性规划问题重构为平衡目标值与约束违反风险的双目标问题，以求解该类问题。利用平滑逼近和投影随机次梯度算法，该方法在收敛性上优于样本平均近似方法，能够在三个基准问题上实现一致的性能提升，并采用二分法处理固定风险水平下的问题。

ABSTRACT

We propose a stochastic approximation method for approximating the efficient frontier of chance-constrained nonlinear programs. Our approach is based on a bi-objective viewpoint of chance-constrained programs that seeks solutions on the efficient frontier of optimal objective value versus risk of constraints violation. In order to be able to apply a projected stochastic subgradient algorithm to solve our reformulation with the probabilistic objective, we adapt existing smoothing-based approaches for chance-constrained problems to derive a convergent sequence of smooth approximations of our reformulated problem. In contrast with exterior sampling-based approaches (such as sample average approximation) that approximate the original chance-constrained program with one having finite support, our proposal converges to local solutions of a smooth approximation of the original problem, thereby avoiding poor local solutions that may be an artefact of a fixed sample. Computational results on three test problems from the literature indicate that our proposal is consistently able to determine better approximations of the efficient frontier than existing approaches in reasonable computation times. We also present a bisection approach for solving chance-constrained programs with a prespecified risk level.

研究动机与目标

• 为解决机会约束非线性规划中有效前沿近似的问题，其中目标性能与约束违反风险之间的权衡至关重要。
• 克服外部采样方法（如样本平均近似）的局限性，后者可能因固定采样带来的伪影而产生较差的局部解。
• 开发一种收敛的平滑近似方案，使随机次梯度方法能够应用于重构后的双目标问题。
• 提供一种可靠的方法，通过二分法求解具有预设风险水平的机会约束规划问题。
• 与现有随机和采样方法相比，提升在近似有效前沿过程中的计算效率和解的质量。

提出的方法

• 将机会约束非线性规划问题重构为双目标优化问题，以平衡最优目标值与约束违反风险。
• 应用投影随机次梯度算法求解平滑重构问题，实现对平滑近似局部解的收敛。
• 将现有的基于平滑的技术应用于机会约束问题，生成一系列收敛于原始问题的平滑近似序列。
• 使用二分法求解具有预设风险水平的机会约束规划问题，确保在期望的概率边界内保持可行性。
• 采用平滑策略处理概率约束的非光滑性，使基于梯度的方法能够有效应用。
• 将随机逼近与平滑技术结合，避免固定样本方法（如样本平均近似）固有的不稳定性和偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于平滑化与次梯度优化的随机逼近方法，是否能在近似机会约束非线性规划的有效前沿方面优于样本平均近似方法？
• RQ2 如何通过平滑近似与随机次梯度方法有效求解机会约束规划的双目标形式？
• RQ3 所提出的方法在多大程度上避免了样本平均近似中因固定采样而产生的不良局部解？
• RQ4 基于二分法的方法是否能可靠求解具有预设风险水平的机会约束规划问题，同时保持收敛性与解的质量？
• RQ5 与现有方法相比，该方法在标准测试问题上的计算效率与解的准确性如何？

主要发现

• 在三个基准测试问题上，所提方法始终产生比现有方法更优的有效前沿近似结果。
• 对平滑近似局部解的收敛性避免了因固定采样导致的样本平均近似中常见的虚假局部最优解。
• 计算结果表明，该方法在合理计算时间内实现了更优的解质量，展现出实际计算效率。
• 二分法能够可靠求解具有预设风险水平的机会约束规划问题，为风险规避优化提供了实用工具。
• 基于平滑近似的策略使随机次梯度方法能够应用于非光滑的机会约束问题，提升了算法的稳定性和收敛性。
• 该方法在测试问题上表现出鲁棒性与可扩展性，表明其适用于更大或更复杂的机会约束规划问题。