[论文解读] A Stochastic Target Problem for Branching Diffusions

Idris Kharroubi, Antonio Ocello|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2022

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一个分支扩散过程的随机目标问题并予以求解，目标是确定使受控分支系统中所有粒子以概率一达到终端目标集的最小初始条件。通过动态规划原理和一种新颖的分支性质（将值函数表示为粒子标签上的逐点最大值），作者证明了值函数是哈密顿-雅可比-贝尔曼变分不等式的唯一粘性解，为加密资产衍生品市场的超复制定价提供了理论基础。

ABSTRACT

We consider an optimal stochastic target problem for branching diffusion processes. This problem consists in finding the minimal condition for which a control allows the underlying branching process to reach a target set at a finite terminal time for each of its branches. This problem is motivated by an example from fintech where we look for the super-replication price of options on blockchain based cryptocurrencies. We first state a dynamic programming principle for the value function of the stochastic target problem. We then show that the value function can be reduced to a new function with a finite dimensional argument by a so called branching property. Under wide conditions, this last function is shown to be the unique viscosity solution to an HJB variational inequality.

研究动机与目标

• 建立并求解受控分支扩散过程的最优随机目标问题模型。
• 刻画确保分支系统中所有粒子在终端时间以概率一达到目标集的最小初始条件。
• 为具有粒子间非马尔可夫依赖关系的分支过程，开发适用的动态规划框架。
• 在涉及逐点最大值而非乘积的新分支性质下，建立值函数的粘性解表征。
• 为基于区块链的加密货币期权提供超复制问题的理论解法，其中分支动态源于协议级机制。

提出的方法

• 利用可测选择定理和受控过程分布的条件期望，推导值函数的动态规划原理（DPP）。
• 提出一种新的分支性质，将给定初始配置下的值函数表示为每个粒子起始位置最优值的逐点最大值。
• 将无穷维值函数简化为以粒子标签为索引的有限维对象，从而可通过粘性解方法进行分析。
• 证明值函数是哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）变分不等式的唯一粘性解，其包含两个组成部分：一个二阶非线性算子和标签间的单调性约束。
• 采用基于受控鞅问题和正则条件概率分布的概率方法，避免对值函数的光滑逼近依赖。
• 结合随机控制与PDE理论，将值函数表征为具有非标准结构的PDE解，其缺乏经典分支PDE中典型的多项式项。

实验结果

研究问题

• RQ1 受控分支扩散过程在终端时间以概率一使所有粒子达到目标集，所需的最小初始条件是什么？
• RQ2 在粒子动态具有依赖关系的分支扩散过程中，如何为随机目标问题建立动态规划原理？
• RQ3 当值函数依赖于粒子标签上的最大值而非乘积时，经典分支性质的正确推广形式是什么？
• RQ4 当标准光滑性假设因最大运算带来的不规则性而失效时，如何将值函数表征为PDE的粘性解？
• RQ5 该框架能否用于求解基于区块链的加密货币期权的超复制问题，其中资产创建机制模拟分支过程？

主要发现

• 证明值函数满足基于概率条件期望和可测选择的动态规划原理，无需依赖光滑逼近。
• 提出一种新颖的分支性质，将值函数表示为每个粒子初始位置值函数的逐点最大值，而非经典分支过程中使用的乘积形式。
• 证明值函数是哈密顿-雅可比-贝尔曼变分不等式的唯一粘性解，其包含两个组成部分：一个二阶非线性算子和标签层面的单调性约束。
• 将粘性解框架适配于处理标签依赖结构及由最大运算引起的不规则性。
• 该方法为涉及具有分支动态的加密资产衍生品的金融科技应用提供了超复制定价的严格数学基础。
• 该方法避免依赖近似PDE的正则解，转而基于概率论论证和条件期望技术。