[论文解读] A stratification of the moduli space of vector bundles on curves

L. Brambila‐Paz, Herbert Lange|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过定义不变量 $ s_k(E) = k\cdot \deg E - r\cdot \max \deg F $ 对光滑射影曲线上的稳定向量丛模空间进行分层，其中 $ F $ 遍历所有秩为 $ k $ 的子丛。证明了当 $ g \geq \frac{r+1}{2} $ 时，层 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 非空，并显式计算其维数，表明其取决于 $ s $ 是否小于或大于 $ k(r-k)(g-1) $。

ABSTRACT

Let $E$ be a vector bundle of rank $r\geq 2$ on a smooth projective curve $C$ of genus $g \geq 2$ over an algebraically closed field $K$ of arbitrary characteristic. For any integer with $1\le k\le r-1$ we define $${\se}_k(E):=k°E-r\max°F.$$ where the maximum is taken over all subbundles $F$ of rank $k$ of $E$. The ${s}_k$ gives a stratification of the moduli space ${\cal M}(r,d)$ of stable vector bundles of rank $r$ and degree on $d$ on $C$ into locally closed subsets ${\calM}(r,d,k,s)$ according to the value of $s$ and $k$. There is a component ${\cal M}^0(r,d,k,s)$ of ${\cal M}(r,d,k,s)$ distinguish by the fact that a general $E\in {\cal M}^0(r,d,k,s)$ admits a stable subbundle $F$ such that $E/F$ is also stable. We prove: {\it For $g\ge \frac{r+1}{2}$ and $0

研究动机与目标

• 理解光滑射影曲线（亏格 $ g \geq 2 $）上稳定向量丛模空间 $ \mathcal{M}(r,d) $ 的结构。
• 定义并分析基于不变量 $ s_k(E) $ 的新分层，该不变量用于度量子丛度的最大性。
• 确定层 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 的非空性与维数，其中一般丛存在一个稳定子丛，且商丛亦为稳定。
• 建立精确的维数公式，其形式取决于 $ s $ 相对于 $ k(r-k)(g-1) $ 的取值。

提出的方法

• 定义 $ s_k(E) = k \cdot \deg E - r \cdot \max \deg F $，其中 $ F $ 遍历所有秩为 $ k $ 的子丛。
• 利用不变量 $ s_k(E) $ 将 $ \mathcal{M}(r,d) $ 分层为局部闭子集 $ \mathcal{M}(r,d,k,s) $。
• 聚焦于开分支 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $，其由所有存在秩 $ k $ 的稳定子丛 $ F $ 且商丛 $ E/F $ 亦为稳定的丛 $ E $ 构成。
• 应用代数几何与向量丛理论的技术，特别是对任意特征的代数闭域。
• 利用维数理论与稳定性条件，分两种情况计算 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 的维数：$ s < k(r-k)(g-1) $ 与 $ s \geq k(r-k)(g-1) $。
• 通过丛的秩与度以及曲线的亏格 $ g $ 推导维数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模空间 $ \mathcal{M}(r,d) $ 中，对于哪些 $ s $ 值，层 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 非空？
• RQ2 层 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 的维数是多少？其如何依赖于 $ s $ 相对于 $ k(r-k)(g-1) $ 的取值？
• RQ3 在什么条件下，$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 中的一般丛存在一个稳定子丛，且其商丛亦为稳定？
• RQ4 不变量 $ s_k(E) $ 如何捕捉曲线向量丛模空间的几何结构？

主要发现

• 当 $ g \geq \frac{r+1}{2} $ 且 $ 0 < s \leq k(r-k)(g-1) + (r+1) $ 时，层 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 非空。
• 当 $ s < k(r-k)(g-1) $ 时，$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 的维数为 $ (r^2 + k^2 - rk)(g-1) + s - 1 $。
• 当 $ s \geq k(r-k)(g-1) $ 时，$ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 的维数为 $ r^2(g-1) + 1 $。
• 层 $ \mathcal{M}^0(r,d,k,s) $ 由存在秩 $ k $ 的稳定子丛 $ F $ 且 $ E/F $ 亦为稳定的条件所刻画。
• $ s_k(E) $ 提供了 $ \mathcal{M}(r,d) $ 的良好定义的分层，其局部闭子集由 $ k $ 和 $ s $ 索引。
• 维数公式在条件 $ s \equiv kd \mod r $ 下成立，确保了不变量的整数值性。