[论文解读] A Stratified Approach to Löb Induction

Daniel Gratzer, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在格罗滕迪克拓扑中构造累积宇宙的分层方法，该方法满足重对齐性质——这是建模马丁-洛夫类型理论的累积宇宙以及合成泰特可计算性的一个关键条件。通过改编小对象方法并利用下降理论，作者将一个行为良好的宇宙层级从集合范畴提升至任意格罗滕迪克拓扑，确保所有宇宙层级之间的一致性，并使得在所有此类拓扑中直接解释类型理论成为可能。

ABSTRACT

Guarded type theory extends type theory with a handful of modalities and constants to encode productive recursion. While these theories have seen widespread use, the metatheory of guarded type theories, particularly guarded dependent type theories remains underdeveloped. We show that integrating Löb induction is the key obstruction to unifying guarded recursion and dependence in a well-behaved type theory and prove a no-go theorem sharply bounding such type theories. Based on these results, we introduce GuTT: a stratified guarded type theory. GuTT is properly two type theories, sGuTT and dGuTT. The former contains only propositional rules governing Löb induction but enjoys decidable type-checking while the latter extends the former with definitional equalities. Accordingly, dGuTT does not have decidable type-checking. We prove, however, a novel guarded canonicity theorem for dGuTT, showing that programs in dGuTT can be run. These two type theories work in concert, with users writing programs in sGuTT and running them in dGuTT.

研究动机与目标

• 解决层化过程无法保持重对齐性质的问题，而该性质对同伦类型理论和合成元理论至关重要。
• 将霍夫曼与施泰纳的预层宇宙构造扩展至所有格罗滕迪克拓扑，同时保持累积性和重对齐性。
• 在任意格罗滕迪克拓扑中提供马丁-洛夫类型理论与累积宇宙的直接解释。
• 支持合成方法的应用——尤其是阿廷粘合与泰特可计算性——于所有格罗滕迪克拓扑。
• 为该构造的构造性版本奠定基础，尽管此问题目前仍开放。

提出的方法

• 基于κ-紧致性与重对齐问题的饱和性，改编舒尔曼的宇宙构造，采用小对象方法。
• 利用格罗滕迪克拓扑中的下降理论，确保宇宙结构在拓扑中一致地提升。
• 通过闭子拓扑j: F → G的伴随关系j! ⊣ j*，构造态射的笛卡尔提升，从而保证重对齐。
• 应用弗罗贝尼乌斯互反律与初始对象的严格性，验证关键图表（如图47）为笛卡尔图。
• 通过结合内部预层构造与粘合技术，构造宇宙的通用族。
• 通过图表推理与伴随关系验证所得宇宙满足所有公理（U1–U8），包括关键的重对齐条件（U8）。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在任意格罗滕迪克拓扑中构造一个满足重对齐性质的累积宇宙层级，即使在层化之后？
• RQ2 在使用标准层化时，重对齐性质——对同伦类型理论与合成泰特可计算性至关重要——是否在层拓扑中仍然保持？
• RQ3 是否可以在保持累积性的同时，使格罗滕迪克拓扑中的宇宙构造在所有宇宙层级上完全一致？
• RQ4 是否存在一种避免依赖选择公理与经典逻辑的构造性宇宙构造版本？
• RQ5 是否可以无需选择公理，统一地将重对齐性质提升至拓扑中所有单射？

主要发现

• 通过分层小对象方法，在任意格罗滕迪克拓扑中构造出满足重对齐性质（U8）的累积宇宙层级。
• 该构造确保宇宙满足所有公理（U1–U8），包括关键的重对齐条件，即使在层拓扑中亦成立。
• 重对齐性质在任意闭子拓扑j: F → G的基变换j*下保持不变，从而可通过图47修复失败的提升。
• 该构造将霍夫曼-施泰纳对马丁-洛夫类型理论与累积宇宙的解释扩展至所有格罗滕迪克拓扑。
• 该方法通过确保j*下代码的严格保持，支持在合成泰特可计算性与立方类型语义中的应用。
• 尽管尚未完全解决，但作者表明在无选择公理下，(U8)对可判定单射仍成立，构造性版本仍为开放问题。