[论文解读] A streamlined quantum algorithm for topological data analysis with exponentially fewer qubits

Sam McArdle, András Gilyén+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 14

一句话总结

本文提出了一种简化的量子算法用于拓扑数据分析，通过引入辅助量子比特实现量子奇异值变换（QSVT）电路中的无噪声受控-非门操作，从而显著降低量子比特需求。通过基于辅助量子比特的投影酉编码重定义，该方法在保持精度的同时实现指数级减少的量子比特数量，显著提升了量子拓扑数据分析的资源效率。

ABSTRACT

Topological invariants of a dataset, such as the number of holes that survive from one length scale to another (persistent Betti numbers) can be used to analyze and classify data in machine learning applications. We present an improved quantum algorithm for computing persistent Betti numbers, and provide an end-to-end complexity analysis. Our approach provides large polynomial time improvements, and an exponential space saving, over existing quantum algorithms. Subject to gap dependencies, our algorithm obtains an almost quintic speedup in the number of datapoints over previously known rigorous classical algorithms for computing the persistent Betti numbers to constant additive error - the salient task for applications. However, we also introduce a quantum-inspired classical power method with provable scaling only quadratically worse than the quantum algorithm. This gives a provable classical algorithm with scaling comparable to existing classical heuristics. We discuss whether quantum algorithms can achieve an exponential speedup for tasks of practical interest, as claimed previously. We conclude that there is currently no evidence for this being the case.

研究动机与目标

• 减少量子拓扑数据分析算法中的量子比特开销。
• 在降低量子比特需求的前提下，实现鲁棒的量子奇异值变换（QSVT）。
• 利用辅助量子比特开发一种抗噪声的投影酉编码框架。
• 提升在实现边界算子与投影算子时的资源效率。
• 为持久同调计算提供一种可扩展、低深度的现有量子算法替代方案。

提出的方法

• 引入额外的辅助量子比特，将有噪声的CΠNOT门转换为无噪声的CΠ'NOT门，从而实现稳定的投影酉编码。
• 用重新编译的电路结构替代标准QSVT模块，将U和CΠNOT操作整合为新的投影酉编码U̅。
• 利用QSVT的鲁棒性（来自Gilyen等人，2019年）来限制误差传播，保证保真度，误差上界为εL + εR + ε。
• 使用量子随机存取存储器（QROM或QRAM）协同加载顶点坐标，并计算平方距离，用于紧凑映射中的成员资格预言机。
• 通过受控应用成员资格预言机O_m_k^i构建CΠNOT门，随后执行多控制Toffoli门操作并进行逆运算。
• 对边界算子∂_k^i和子空间投影算子（Ker, Im, Ker∩Im）的投影酉编码应用QSVT，采用√N缩放的酉嵌入方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持算法精度的前提下，减少量子拓扑数据分析所需的量子比特数量？
• RQ2 如何利用辅助量子比特将QSVT电路中的有噪声受控-非门替换为无噪声等价形式？
• RQ3 基于辅助量子比特的重新编译对投影酉编码的误差界与资源成本有何影响？
• RQ4 与先前方法相比，该方法在编码TDA中边界算子时的资源效率如何？
• RQ5 能否在不使用辅助量子比特的情况下实现∂_k^i的投影酉编码，并同时改善非Clifford门深度？

主要发现

• 所提方法将边界算子∂_k^i的辅助量子比特需求从~O(log N + log k)降低至零，优于先前方法。
• 该算法实现了(1, m+1, εL + εR + ε)的投影酉编码，采用无噪声CΠ'NOT门，显著提升了鲁棒性。
• 酉嵌入方法实现了∂_k^i的(√N, 0, 0)投影酉编码，非Clifford门深度为O(log N)，相比先前工作的Ω(N)有显著改善。
• 非Clifford门数量从O(N²)减少至2(N−1)个单量子比特旋转门，显著降低电路深度并提升可扩展性。
• 辅助量子比特的使用实现了无噪声CΠNOT操作，减少误差累积，支持稳定的基于QSVT的计算。
• 该方法在保持精度的同时实现指数级量子比特减少，使大规模量子TDA在近场量子设备上更具可行性。