[论文解读] A strong and weak approximation scheme for stochastic differential equations driven by a time-changed Brownian motion

Ernest Jum, Kei Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于由时间改变布朗运动驱动的随机微分方程（SDEs）的新离散化方案，其中时间改变由一般逆子扩散过程控制。通过将欧拉-丸山方法与对逆子扩散过程的改进近似相结合，作者利用通过伯克霍尔德不等式导出的更精确误差估计，建立了强收敛阶为 $1/2$ 和弱收敛阶为 $1$ 的结果，优于现有方法。

ABSTRACT

This paper establishes a discretization scheme for a large class of stochastic differential equations driven by a time-changed Brownian motion with drift, where the time change is given by a general inverse subordinator. The scheme involves two types of errors: one generated by application of the Euler-Maruyama scheme and the other ascribed to simulation of the inverse subordinator. With the two errors carefully examined, the orders of strong and weak convergence are derived. Numerical examples are attached to support the convergence results.

研究动机与目标

• 为具有时变系数的时间改变布朗运动驱动的SDE开发一种数值方案。
• 在统一框架内解决欧拉-丸山离散化与逆子扩散过程模拟的双重挑战。
• 在时间改变SDE的背景下，建立强逼近与弱逼近的严格收敛速率。
• 利用伯克霍尔德不等式改进现有欧拉-丸山方案的误差估计，实现更紧密的收敛性分析。

提出的方法

• 该方案在时间改变域中应用欧拉-丸山方法，使用与逆子扩散过程跳跃时间对齐的离散时间步长。
• 基于底层子扩散过程的样本路径，采用一种离散化策略对逆子扩散过程进行近似，从而实现时间改变的模拟。
• 利用先前工作中提出的对偶原理，将时间改变SDE与原始时间尺度下的标准SDE联系起来。
• 误差分析将欧拉-丸山方案的贡献与逆子扩散过程近似的贡献分开处理，前者通过伯克霍尔德不等式的创新应用进行分析。
• 该方法基于离散化的时间改变 $E_\delta$ 构建一个分段常数近似 $Y_\delta(t)$，确保路径一致性。
• 通过几何布朗运动SDE与指数衰减稳定子扩散过程的数值验证，将近似结果与通过 $X \circ E_\delta$ 得到的近似精确解进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由一般逆子扩散过程控制的时间改变布朗运动驱动的SDE，所应用的数值方案的强收敛阶是多少？
• RQ2 在相同条件下，该方案的弱收敛阶是多少？
• RQ3 能否通过超越标准方法的技术（如伯克霍尔德不等式）推导出欧拉-丸山方案的更精确误差估计？
• RQ4 欧拉-丸山离散化与逆子扩散过程近似这两个独立误差源如何共同影响整体收敛速率？
• RQ5 在实际模拟中，数值结果在多大程度上能验证理论收敛阶？

主要发现

• 所提方案的强收敛阶为 $1/2$，与定理11中建立的理论界一致。
• 弱收敛阶为 $1$，由定理14确认，并得到数值实验支持，其最小二乘斜率为 $1.1882$，趋近于 $1.0$。
• 通过伯克霍尔德不等式推导出欧拉-丸山方案的新误差估计，其边界比经典方法更紧，是证明强收敛性的关键。
• 数值结果表明，强误差估计 $\mathrm{STERR}(\delta)$ 在 $\log_2$ 尺度下斜率为 $0.5338$，略高于 $0.5$，表明与理论的 $\delta^{1/2}$ 速率一致。
• 弱误差估计 $\mathrm{WKERR}(\delta)$ 的斜率为 $1.1882$，接近理论的 $\delta^1$ 速率，表明随着样本量增加，收敛性正趋近于预期阶。
• 该方案成功处理了具有时变系数和一般逆子扩散过程的SDE，扩展了以往仅限于常系数和特定子扩散过程的研究。