[论文解读] A strong direct product theorem for two-way public coin communication complexity

Rahul Jain|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过引入一个新的复杂度度量——$\varepsilon$-误差双向条件相对熵界（$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$），建立了双向公开随机通信复杂度的强直接产品定理。该度量推广了双向乘积子分布界。作者证明该度量为集合不相交问题提供了紧致的下界，从而重现了Klauck的强直接产品结果，并在单一、更紧致的框架下统一了先前的结果。

ABSTRACT

We show a direct product result for two-way public coin communication complexity of all relations in terms of a new complexity measure that we define. Our new measure is a generalization to non-product distributions of the two-way product subdistribution bound of [J, Klauck and Nayak 08], thereby our result implying their direct product result in terms of the two-way product subdistribution bound. We show that our new complexity measure gives tight lower bound for the set-disjointness problem, as a result we reproduce strong direct product result for this problem, which was previously shown by [Klauck 00].

研究动机与目标

• 建立双向公开随机通信复杂度的强直接产品定理。
• 定义一种新的复杂度度量，将双向乘积子分布界推广至非乘积分布。
• 证明新度量可为集合不相交问题提供紧致下界。
• 通过单一、信息论框架统一并强化通信复杂度中先前的直接产品结果。

提出的方法

• 将$\varepsilon$-误差双向条件相对熵界（$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$）作为关系的新复杂度度量引入。
• 证明$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$下界为双向公开随机通信复杂度$\mathsf{R}^{2,\mathsf{pub}}_\varepsilon(f)$。
• 证明$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$上界为双向乘积子分布界，从而蕴含先前的直接产品结果。
• 利用链式法则和相对熵的联合凸性，分析条件分布及协议在不同输入下的行为。
• 将新度量应用于集合不相交问题，证明其可给出紧致下界。
• 利用协议和输入分布的结构性质，控制成功概率并推导出强直接产品结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用广义复杂度度量证明双向公开随机通信复杂度的强直接产品定理？
• RQ2 新度量$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$是否提供比现有度量（如双向乘积子分布界）更紧或更一般的下界？
• RQ3 新度量能否重现已知的强直接产品结果，例如集合不相交问题的结果？
• RQ4 $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$度量在集合不相交问题上是否紧致？
• RQ5 新度量如何统一或扩展通信复杂度中先前的直接产品结果？

主要发现

• 新复杂度度量$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$构成对双向公开随机通信复杂度$\mathsf{R}^{2,\mathsf{pub}}_\varepsilon(f)$的下界。
• $\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$度量推广了双向乘积子分布界，从而蕴含J.、Klauck和Nayak [JKN08] 的直接产品结果。
• 对于集合不相交问题，$\mathsf{crent}^2_\varepsilon(f)$给出了紧致下界。
• 本文使用新度量重现了Klauck对集合不相交问题的强直接产品结果。
• 分析表明，同时计算$k$个关系副本的成功概率最多为$(1 - \varepsilon)^k$（相差常数因子），从而证实了该问题的强直接产品猜想。
• 证明依赖于对条件概率的有界控制，并利用相对熵和$\ell_1$距离的性质来控制错误在不同输入间的传播。