[论文解读] A strong hyperbolicity property of locally symmetric varieties

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文证明，当算术格足够小时，算术局部对称簇的所有子簇——即有界对称域关于算术格的商——均为一般型。通过运用Hodge理论、对数紧化以及Viehweg关于大向量丛的概念，作者证明了子簇具有最大余切维数，从而在该设定下确认了Green-Griffiths-Lang猜想所预测的强双曲性性质，且对Siegel模簇的情形给出了精确界限：当 $ n > 12g $ 时，$ \mathcal{A}_g(n) $ 的所有子簇均为一般型。

ABSTRACT

We show that all subvarieties of a quotient of a bounded symmetric domain by a sufficiently small arithmetic discrete group of automorphisms are of general type. This result corresponds through the Green-Griffiths-Lang's conjecture to a well-known result of Nadel.

研究动机与目标

• 通过证明其子簇为一般型，解决算术局部对称簇背景下的Green-Griffiths-Lang猜想。
• 将Nadel关于紧化局部对称簇例外集的结果推广为关于所有子簇的一般型性质的更强结论。
• 建立关于水平结构 $ n $ 的精确界限，使得 $ \mathcal{A}_g(n) $ 的所有子簇均为一般型，特别地，当 $ n > 12g $ 时成立。
• 通过使用对数紧化与Viehweg-大子层，建立一个通用框架以证明余切维数的最大性。
• 通过Torelli定理将结果与Shimura簇及带水平结构的阿贝尔簇与曲线的模空间联系起来。

提出的方法

• 利用算术局部对称簇的对数紧化来分析从 $ \mathbb{C} $ 到这些簇的全纯映射行为，扩展Nadel的结果。
• 应用Viehweg的大向量丛理论，证明丛 $ S^{l \cdot r_{\mathcal{D}}} \Omega^1_{\overline{Y}}(\log E) $ 包含一个Viehweg-大子层，从而推出余切维数的最大性。
• 通过基变换与有限覆盖，将基簇上的性质提升至其有限 étale 覆盖，尤其适用于 $ \mathcal{A}_g(n) $ 上的水平结构。
• 利用自守线丛与Hodge丛的典范扩张，将 $ \mathcal{A}_g(n) $ 的几何与对数canonical丛 $ \omega_{\overline{\mathcal{A}_g}}(D) $ 联系起来。
• 应用Weissauer对 $ \mathcal{L}^{\otimes l}(-mD) $ 的截面构造，证明当 $ l > 12m $ 时该线丛为大丛，从而导出关键界限 $ n > 12g $。
• 通过Borel的代数化定理，将结果从解析簇推广至代数簇，确保一般型性质对任意映射到对称空间的代数簇均成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有界对称域 $ \mathcal{D} $ 关于足够小的算术格 $ \Gamma' $ 的商 $ \Gamma'\backslash\mathcal{D} $，其所有子簇是否均为一般型？
• RQ2 Green-Griffiths-Lang猜想是否在算术局部对称簇中成立，特别是在带水平结构的阿贝尔簇模空间的情形？
• RQ3 使得 $ \mathcal{A}_g(n) $ 的所有子簇均为一般型的水平 $ n $ 的最优界限是什么？
• RQ4 能否通过Hodge理论方法证明算术局部对称簇中子簇的余切维数达到最大？
• RQ5 紧化局部对称簇的例外集是否完全位于边界上？这一性质能否用于推导出所有子簇的一般型？

主要发现

• 对于有界对称域 $ \mathcal{D} $ 关于有限指数算术格 $ \Gamma' $ 的商 $ \Gamma'\backslash\mathcal{D} $，其所有子簇均为一般型。
• 对于主极化阿贝尔簇带水平-$ n $ 结构的模空间 $ \mathcal{A}_g(n) $，当 $ n > 12g $ 时，其所有子簇均为一般型。
• canonical丛 $ \omega_{\overline{\mathcal{A}_g}}(D) $ 同构于 $ \mathcal{L}^{\otimes(g+1)} $，其中 $ \mathcal{L} $ 为自守线丛，从而可应用大丛论证。
• 当 $ l $ 适当选取时，向量丛 $ S^{l \cdot r_{\mathcal{D}}} \Omega^1_{\overline{Y}}(\log E) $ 包含一个Viehweg-大子层，从而推出余切维数的最大性。
• 当 $ n > 12g $ 时，$ \mathcal{A}_g(n) $ 的子簇具有最大余切维数，这蕴含其为一般型。
• 通过Torelli定理，$ \mathcal{A}_g(n) $ 的结果可推出关于带水平结构的曲线模堆的相应结论，确认在相同界限下其子簇亦为一般型。