[论文解读] A Strong Stability Preserving Analysis for Multistage Two-Derivative Time-Stepping Schemes Based on Taylor Series Conditions

Zachary J. Grant, Sigal Gottlieb+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文提出强稳定性保持泰勒级数（SSP-TS）方法——一种显式多阶段二阶导数时间积分格式，可在前向欧拉和泰勒级数条件下保持空间离散化的强稳定性特性。作者证明此类方法的最大阶数为六，提出一种优化方法以构造这些格式，并在双曲型PDE上验证其效率与严格的步长限制。

ABSTRACT

High order strong stability preserving (SSP) time discretizations are often needed to ensure the nonlinear (and sometimes non-inner-product) strong stability properties of spatial discretizations specially designed for the solution of hyperbolic PDEs. Multiderivative time-stepping methods have recently been increasingly used for evolving hyperbolic PDEs, and the strong stability properties of these methods are of interest. In our prior work we explored time discretizations that preserve the strong stability properties of spatial discretizations coupled with forward Euler and a second derivative formulation. However, many spatial discretizations do not satisfy strong stability properties when coupled with this second derivative formulation, but rather with a more natural Taylor series formulation. In this work we demonstrate sufficient conditions for an explicit two-derivative multistage method to preserve the strong stability properties of spatial discretizations in a forward Euler and Taylor series formulation. We call these strong stability preserving Taylor series (SSP-TS) methods. We also prove that the maximal order of SSP-TS methods is p = 6, and define an optimization procedure that allows us to find such SSP methods. Several types of these methods are presented and their efficiency compared. Finally, these methods are tested on several PDEs to demonstrate the benefit of SSP-TS methods, the need for the SSP property, and the sharpness of the SSP time-step in many cases.

研究动机与目标

• 开发时间积分格式，以保持为具有间断性的双曲型PDE设计的空间离散化的强稳定性特性。
• 通过引入基于泰勒级数的更灵活稳定性条件，解决先前SSP方法依赖于二阶导数形式的局限性。
• 在前向欧拉和泰勒级数基础条件下，建立强稳定性保持的充分条件。
• 证明此类SSP-TS方法的理论最大阶数为六。
• 设计一种优化程序以构造高阶SSP-TS方法，并通过数值方法评估其效率。

提出的方法

• 基于前向欧拉和泰勒级数条件，提出一类新的显式多阶段二阶导数时间积分格式，称为SSP-TS方法。
• 定义基础条件：在前向欧拉条件下保持强稳定性（$\|u^n + \Delta t F(u^n)\| \leq \|u^n\|$）和二阶泰勒级数条件（$\|u^n + \Delta t F(u^n) + \frac{1}{2}\Delta t^2 \tilde{F}(u^n)\| \leq \|u^n\|$）。
• 推导多阶段二阶导数格式系数的充分条件，以确保在两种基础条件下均保持SSP性质。
• 制定一个优化问题，以在推导出的条件下最大化SSP系数，平衡阶数、阶段数与稳定性区域。
• 构造阶数2至6的SSP-TS方法，包括一个8阶段、8个导数阶段的六阶方法。
• 使用五阶WENO空间离散化，在双曲守恒律上对方法进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式二阶导数多阶段方法在前向欧拉和泰勒级数条件下保持强稳定性的充分条件是什么？
• RQ2 此类SSP-TS方法的最大可能阶数是多少？
• RQ3 如何设计一种优化程序，以构造具有优良稳定性特性的高阶SSP-TS方法？
• RQ4 SSP-TS方法在双曲型PDE上与现有SSP方法相比，在效率和稳定性方面表现如何？
• RQ5 在实际应用中，SSP时间步长限制的严格程度如何？

主要发现

• 证明SSP-TS方法的最大阶数为$p = 6$，确立了该类格式的理论上限。
• 成功构造出一个8阶段、8个导数阶段的六阶SSP-TS方法，证明了在新框架下实现高阶构造的可行性。
• 六阶方法的SSP系数被优化至$\Delta t_{\text{SSP}} = 0.575 \Delta t_{\text{FE}}$，相较于低阶方法表现出显著的时间步长限制。
• 在双曲型PDE（如欧拉方程和标量守恒律）上的数值测试表明，SSP-TS方法在预测的时间步长限制下仍能保持强稳定性特性。
• 在许多情况下，SSP时间步长限制被证明是严格的，即违反该限制将导致不稳定，验证了理论分析的正确性。
• 所提出的SSP-TS方法在阶数和稳定性方面优于标准SSP Runge–Kutta方法，尤其适用于满足基于泰勒级数稳定性条件的空间离散化。