[论文解读] A Strong Tits Alternative

Emmanuel Breuillard|ArXiv.org|Apr 9, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 30被引用 39

一句话总结

本文为线性群建立了强一致 Tits 选择公理：对任意维数 $d$，存在整数 $N(d)$，使得任意有限对称生成集 $F$ 生成 $GL_d(K)$ 的非阿马兰特子群时，必有 $F^{N(d)}$ 包含两个自由生成非交换自由群的元素。该结果通过统一的算术-几何论证证明，结合高度理论与有效 Nullstellensatz，为任意域上的线性群提供了统一的增长与扩张界。

ABSTRACT

We show that for every integer $d$, there is a constant $N(d)$ such that if $K$ is any field and $F$ is a finite subset of $GL_d(K)$, which generates a non amenable subgroup, then $F^{N(d)}$ contains two elements, which freely generate a non abelian free subgroup. This improves the original statement of the Tits alternative. It also implies a growth gap and a co-growth gap for non-amenable linear groups, and has consequences about the girth and uniform expansion of small sets in finite subgroups of $GL_d(\Bbb{F}_q)$ as well as other diophantine properties of non-discrete subgroups of Lie groups.

研究动机与目标

• 建立线性群的统一 Tits 选择公理版本，独立于域 $K$ 与生成集 $F$，通过界定找到自由子群所需的词长 $N(d)$。
• 通过在算术步骤中引入统一的高度估计，弥合先前结果中界依赖于群 $\langle F\rangle$ 而非仅维数 $d$ 的缺陷。
• 利用有效代数几何推导线性群在任意域上指数增长、周长与统一扩张的定量结论。
• 通过 Arakelov 高度与有效 Nullstellensatz 实现算术与几何方法的统一，用于获得统一的界。

提出的方法

• 使用算术高度与归一化高度 $\widehat{h}(F)$，在域 $K$ 的所有绝对值上统一控制特征值，确保统一的谱间隙 $|\lambda| > 1 + \varepsilon$。
• 应用高度间隙定理（来自 [13]）以确保存在一个局部域，使得群在该域上作用时具有拟合元素。
• 通过在射影空间 $\mathbb{P}(k^n)$ 中对拟合性与横截性进行统一估计，利用 $v$-进度量构造 ping-pong 对。
• 使用伴随表示的 $v$-进范数估计不变子空间与其正交补之间的距离。
• 应用 Hilbert 的 Nullstellensatz 的有效版本，将自由生成的代数条件转化为统一的多项式理想包含关系。
• 将问题约化为代数簇：生成几乎可解群的 $k$-元组集合是闭的，而不存在 $N(d)$-词对生成自由群的 $k$-元组集合是代数条件的可数并。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tits 选择公理能否被强化，以保证在独立于域 $K$ 与生成集 $F$ 的词长 $N(d)$ 内出现一个自由非交换子群？
• RQ2 在 $F$ 生成 $GL_d(K)$ 的非阿马兰特子群的前提下，可建立多大的词长 $N(d)$ 的统一界，使得 $F^{N(d)}$ 包含一个自由对？
• RQ3 如何将有效代数几何与高度理论结合，以在任意域上的线性群背景下获得统一的界？
• RQ4 非阿马兰特线性群的增长指数能在多大程度上被统一地从下方有界，且独立于生成集？
• RQ5 能否利用此强 Tits 选择公理，统一控制有限线性群的周长与扩张性质？

主要发现

• 对每个 $d \in \mathbb{N}$，存在 $N(d) \in \mathbb{N}$，使得若 $F \subset GL_d(K)$ 是一个包含 1 的有限对称集，且生成非阿马兰特子群，则 $F^{N(d)}$ 包含两个元素，自由生成一个非交换自由群。
• 此类群的增长指数满足 $\rho_F \geq \log(1 + \varepsilon)$，其中 $\varepsilon = \varepsilon(d) > 0$，且独立于 $F$ 与 $K$，从而证明了统一的指数增长。
• 该结果蕴含共增长间隙：$F$ 中长度为 $n$ 的约化词的数量至少以 $(1 + \varepsilon)^n$ 的速度增长，且对 $F$ 与 $K$ 均一致。
• 证明给出了 Nullstellensatz 中多项式次数与高度的有效界，使该结果可应用于典型李型有限群的周长与扩张。
• $F^{N(d)}$ 包含自由对的条件等价于多项式理想包含 $\mathcal{W}_n \subset \mathcal{V}$，该关系可通过 Nullstellensatz 有效化。
• 该方法在所有局部域与所有特征零域上均适用，算术步骤依赖于高度理论，几何步骤依赖于统一的拟合性估计。