[论文解读] A strong uniform approximation of sub-fractional Brownian motion

Johanna Garzón, Luis G. Gorostiza+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过运输过程建立了子分数阶布朗运动（sfBm）的强一致逼近，其收敛速率与此前对分数阶布朗运动（fBm）所获得的速率相同。通过利用sfBm的随机积分表示，并对其中各分量应用运输过程的强逼近技术，作者证明了几乎必然收敛，收敛速率为$ O(n^{-1/2}( ext{log} hinspace n)^{5/2}) $，从而将具有长程依赖性的高斯过程的计算方法进行了拓展。

ABSTRACT

Sub-fractional Brownian motion is a process analogous to fractional Brownian motion but without stationary increments. In \cite{GGL1} we proved a strong uniform approximation with a rate of convergence for fractional Brownian motion by means of transport processes. In this paper we prove a similar type of approximation for sub-fractional Brownian motion.

研究动机与目标

• 将分数阶布朗运动的强逼近框架扩展至子分数阶布朗运动。
• 解决sfBm缺乏具有量化收敛速率的强逼近方法的问题。
• 利用运输过程作为sfBm的模拟友好型工具，类似于其在fBm中的应用。
• 在方法上保持与先前fBm研究相同的收敛速率，以确保计算效率。

提出的方法

• 通过实轴上双边布朗运动的随机积分表示子分数阶布朗运动。
• 利用Mandelbrot-van Ness表示，将sfBm分解为分数阶布朗运动与余项过程之和。
• 对分解中的每一成分应用强运输逼近定理（定理1.1）：在区间[0,T]、[a,0]和[1/a,0]上的布朗运动。
• 为每个布朗运动段构造运输过程，确保几乎必然收敛并控制误差界。
• 利用Hölder连续性与矩估计，对余项过程的逼近误差进行界定。
• 通过积分差值与尾概率界的关键分析，建立最终的逼近速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过运输过程实现子分数阶布朗运动的强一致逼近，并获得具有量化收敛速率的结果？
• RQ2 当使用相同方法时，子分数阶布朗运动的逼近速率是否与分数阶布朗运动的速率一致？
• RQ3 在基于运输的逼近框架下，如何处理sfBm缺乏平稳增量的特性？
• RQ4 将运输逼近框架从fBm推广至sfBm时，需要哪些技术性修改？
• RQ5 能否将用于fBm的相同概率工具适配，以实现sfBm的几乎必然收敛？

主要发现

• 本文通过运输过程建立了子分数阶布朗运动的强一致逼近，收敛速率为$ O(n^{-1/2}( ext{log}\,n)^{5/2}) $，与分数阶布朗运动的速率一致。
• 逼近误差满足$ Pigl(igl| ext{sfBm}(t) - Z^{(n)}(t)igr| > Cn^{-1/2}( ext{log}\,n)^{5/2} \bigr) = o(n^{-q}) $，对任意$ q > 0 $成立，从而确保几乎必然收敛。
• 通过分解$ S(t) = W(t) + Y(t) $，其中$ W $为fBm，$ Y $为余项，实现了对各分量的模块化逼近。
• 余项过程$ Y(t) $通过积分差值与Hölder连续性的细致分析，被证明可被运输过程良好逼近。
• 证明依赖于对核函数差值的随机积分进行有界处理，并利用运输过程对布朗运动的强逼近。
• 该结果对所有$ H \neq 1/2 $成立，且在任意紧区间$[a,b]$上（满足$ a < 0 $，$ b > 0 $）收敛速率一致。