[论文解读] A strong uniform convergence rate of a kernel conditional quantile estimator under random left-truncation and dependent data

Elias Ould-Saı̈d, Djabrane Yahia+1 more|ArXiv.org|Oct 7, 2008

Statistical Methods and Inference参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文在随机左删失和 α-混合相依条件下，为基于核的条件分位数估计量建立了强一致的统一收敛速率。通过将先前独立同分布（i.i.d.）结果推广至更一般情形，证明了在弱混合条件下，估计量以结合对数项与带宽项的速率实现几乎必然的统一收敛，从而在生存分析或计量经济学等依赖性删失数据场景中，支持稳健的非参数分位数推断。

ABSTRACT

In this paper we study some asymptotic properties of the kernel conditional quantile estimator with randomly left-truncated data which exhibit some kind of dependence. We extend the result obtained by Lemdani, Ould-Saïd and Poulin [16] in the iid case. The uniform strong convergence rate of the estimator under strong mixing hypothesis is obtained.

研究动机与目标

• 将基于核的条件分位数估计量的强一致统一收敛性，从独立同分布（i.i.d.）情形推广至存在随机左删失和依赖数据的设置。
• 在 α-混合相依（一种时间序列中常见的弱相依形式）下，建立该估计量的非渐近收敛速率。
• 为删失依赖数据中的非参数分位数回归提供理论保障，该问题在生存分析和计量经济学中具有实际意义。
• 将 Lemdani 等人（2008）在 i.i.d. 情况下的既有结果推广至更一般的依赖数据模型。
• 通过在删失条件下进行条件分位数估计，支持在重尾误差和异常值存在时的稳健推断。

提出的方法

• 提出一种基于加权经验分布函数的核条件分位数估计量，通过逆概率加权方法对删失效应进行校正。
• 采用双变量核估计器估计 (X, Y) 的联合密度，带宽为 h，并对核函数施加条件（如有界性、紧台支集）。
• 应用强混合条件（α-混合）以建模数据中的弱相依性，且混合系数以多项式速率衰减。
• 利用泰勒展开和矩不等式推导估计量的偏差与方差，同时考虑删失和相依结构的影响。
• 运用 Borel-Cantelli 引理与最大不等式，控制经验过程的统一偏差。
• 结合偏差与方差的界，推导出在 α-混合条件下统一收敛速率的形式为 O_p( max{ sqrt(log n / (n h)) , h^2 } )。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机左删失与 α-混合相依条件下，核条件分位数估计量的强一致统一收敛速率为何？
• RQ2 与独立同分布情形相比，相依结构（α-混合）如何影响收敛速率？
• RQ3 是否可在弱于先前研究的矩条件与混合条件假设下，建立统一一致性和收敛速率？
• RQ4 在依赖设定下，删失对核估计量的偏差与方差有何影响？
• RQ5 在非 i.i.d. 数据下，估计量在设计空间上的统一偏差表现如何？

主要发现

• 论文在 α-混合与随机左删失条件下，为核条件分位数估计量建立了强一致统一收敛速率 O_p( max{ sqrt(log n / (n h)) , h^2 } )。
• 该收敛速率的推导基于 α-混合系数以多项式速率衰减的假设，即 α(n) = O(n^{-δ})，其中 δ > 0。
• 在密度与核函数满足正则性条件时，偏差项被证明为 O(h^2)，且与相依性无关。
• 通过最大不等式与矩不等式控制方差项，且在 α-混合条件下，统一偏差被控制在 O_p( sqrt(log n / (n h)) ) 以内。
• 该结果将 Lemdani 等人（2008）在 i.i.d. 情形下的收敛速率推广至依赖情形，且保持相同的速率结构。
• 证明过程依赖于将估计量分解为偏差、方差与经验过程三部分，其中经验过程部分通过 Borel-Cantelli 引理与矩条件加以控制。