[论文解读] A stronger structure theorem for excluded topological minors

Zdenĕk Dvořák|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文通过细化几乎嵌入条件，强化了排除固定图作为拓扑子图的图的结构定理：不再允许任意有界亏格的曲面，而是将嵌入限制在 $H$ 无法嵌入的曲面中，并通过 $\mathrm{mf}(H,\Sigma)$ 控制高阶顶点，即 $H$ 中度数 $\geq 4$ 的顶点被面集支配的最小大小。该结果使得对避免浸入和有界 $\infty$-可接受性的图的新结构表征成为可能。

ABSTRACT

Grohe and Marx proved that if G does not contain H as a topological minor, then there exist constants g=O(|V(H)|^4), D and t depending only on H such that G is a clique sum of graphs that either contain at most t vertices of degree greater than D or almost embed in some surface of genus at most g. We strengthen this result, giving a more precise description of the latter kind of basic graphs of the decomposition - we only allow graphs that (almost) embed in ways that are impossible for H (similarly to the structure theorem for minors, where only graphs almost embedded in surfaces in that H does not embed are allowed). This enables us to give structural results for graphs avoiding a fixed graph as an immersion and for graphs with bounded infinity-admissibility.

研究动机与目标

• 通过在分解的基本构件上施加更严格的嵌入约束，细化图 $H$ 作为拓扑子图被排除的结构定理。
• 通过将高阶顶点的分布与 $H$ 中度数 $\geq 4$ 的顶点被支配的最小面集关联，控制几乎嵌入图中的高阶顶点分布。
• 将结构表征扩展至避免 $H$ 作为浸入的图，以及 $\infty$-可接受性有界的图。
• 通过解决先前结果的局限性，处理了任意曲面嵌入无法防止 $H$-拓扑子图包含的情况，特别是由于顶点分离和小分隔符导致的问题。

提出的方法

• 引入 $\mathrm{mf}(H,\Sigma)$，即在曲面 $\Sigma$ 上支配 $H$ 中所有度数至少为四的顶点的最小面集大小，以限制允许的嵌入方式。
• 重新表述几乎嵌入条件，仅允许那些 $H$ 无法嵌入的曲面 $\Sigma$ 上的几乎嵌入图，且此类图中的高阶顶点被限制在至多 $\mathrm{mf}(H,\Sigma)-1$ 个涡流中。
• 引入并分析 $\infty$-可接受性及基于团的 $\infty$-可接受性，以控制团和分解中的顶点排序与回连性。
• 通过技术性调整处理因小分隔符而分离的高阶顶点，这些顶点无法通过团和分解消除。
• 证明 $\infty$-可接受性在团和下的封闭性，并通过分解树上的归纳法推导出界。
• 应用改进的结构定理，推导出关于避免 $H$ 作为浸入的图以及 $\infty$-可接受性有界的图的新结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将几乎嵌入限制在 $H$ 无法嵌入的曲面中，来强化排除拓扑子图的结构定理？
• RQ2 如何控制几乎嵌入图中高阶顶点的分布，以防止出现 $H$-拓扑子图？
• RQ3 $\mathrm{mf}(H,\Sigma)$ 与排除 $H$ 作为拓扑子图的图的结构分解之间有何关系？
• RQ4 改进的结构定理能否用于表征避免 $H$ 作为浸入的图？
• RQ5 排除 $H$ 作为拓扑子图的图的 $\infty$-可接受性的紧致界是多少？它与分解组件有何关联？

主要发现

• 本文建立了更强的结构定理：若图 $G$ 排除 $H$ 作为拓扑子图，则 $G$ 是若干图的团和，这些图要么最多有 $t$ 个度数 $> D$ 的顶点，要么在曲面 $\Sigma$ 上 $k$-几乎嵌入，其中 $H$ 无法嵌入，且所有高阶顶点均被限制在至多 $\mathrm{mf}(H,\Sigma)-1$ 个涡流中。
• 原始定理中亏格 $g$ 的界通过限制在 $H$ 无法嵌入的曲面中得到改进，从而确保嵌入与 $H$ 在结构上不相容。
• 本文证明，排除 $H$ 作为拓扑子图的图的 $\infty$-可接受性至多为 $a + D$，其中 $a$ 为分解组件中度数 $> D$ 的顶点数。
• 证明了 $\infty$-可接受性有界的图在团和下是封闭的，且此类图排除某个双轮图 $W_{t+2}$ 作为拓扑子图。
• 该结构定理可导出新的算法结果，包括对排除固定图作为拓扑子图的图的多项式时间同构测试。
• 本文提供了弱逆命题：若图的 $\infty$-可接受性有界，则其排除某个双轮图 $W_{t+2}$ 作为拓扑子图。