[论文解读] A strongly convergent numerical scheme from EnKF continuum analysis

Dirk Blömker, Claudia Schillings+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 2

一句话总结

本文提出了一种针对标量随机微分方程（SDE）的新型弱稳定数值格式，该方程用于模拟集合卡尔曼滤波反演，证明了在漂移项和扩散项非全局Lipschitz条件下仍具有强收敛性。通过结合局部化技术与通过自举法获得的矩界，该研究在捕捉完整集合卡尔曼滤波框架关键动力学特性的简化模型下建立了收敛性。

ABSTRACT

The Ensemble Kalman methodology in an inverse problems setting can be viewed as an iterative scheme, which is a weakly tamed discretization scheme for a certain stochastic differential equation (SDE). Assuming a suitable approximation result, dynamical properties of the SDE can be rigorously pulled back via the discrete scheme to the original Ensemble Kalman inversion. The results of this paper make a step towards closing the gap of the missing approximation result by proving a strong convergence result in a simplified model of a scalar stochastic differential equation. We focus here on a toy model with similar properties than the one arising in the context of Ensemble Kalman filter. The proposed model can be interpreted as a single particle filter for a linear map and thus forms the basis for further analysis. The difficulty in the analysis arises from the formally derived limiting SDE with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities both in the drift and in the diffusion. Here the standard Euler-Maruyama scheme might fail to provide a strongly convergent numerical scheme and taming is necessary. In contrast to the strong taming usually used, the method presented here provides a weaker form of taming. We present a strong convergence analysis by first proving convergence on a domain of high probability by using a cut-off or localisation, which then leads, combined with bounds on moments for both the SDE and the numerical scheme, by a bootstrapping argument to strong convergence.

研究动机与目标

• 通过分析从方法中导出的简化SDE模型，弥合集合卡尔曼反演在理论上的不足。
• 解决当漂移项和扩散项非全局Lipschitz时，数值格式中强收敛性的挑战。
• 开发一种弱稳定离散化格式，避免通常在该类SDE中所需的强稳定处理。
• 通过自举法结合高概率域控制与矩界，建立严格的收敛性证明。

提出的方法

• 将集合卡尔曼反演形式化为一个SDE的弱稳定离散化。
• 分析一个保留完整反问题关键非线性的简化标量SDE模型。
• 应用局部化（截断）技术，以在高概率域上控制解。
• 推导SDE与数值格式的矩界，以支持自举法论证。
• 利用在局部化域上的高概率收敛性，推导全局强收敛性。
• 通过结合概率局部化与矩估计，建立强收敛性，避免强稳定处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在集合卡尔曼反演中产生的标量SDE的数值格式，是否能在漂移项和扩散项非全局Lipschitz的条件下实现强收敛？
• RQ2 与标准强稳定技术相比，是否可能通过较弱形式的稳定处理实现强收敛？
• RQ3 如何结合局部化与矩界，以在奇异性非线性存在时证明强收敛性？
• RQ4 能否通过收敛性分析，将极限SDE的动力学性质严格传递到离散格式？
• RQ5 概率局部化在克服标准Euler-Maruyama格式在该类SDE中失效方面起到何种作用？

主要发现

• 所提出的数值格式在具有非全局Lipschitz漂移与扩散项的标量SDE上实现了强收敛性，克服了标准Euler-Maruyama格式的关键局限。
• 该格式采用弱稳定离散化，避免了在该类设置下通常所需的更强稳定条件。
• 通过局部化技术控制高概率域上的解，建立了收敛性。
• 推导了SDE与数值格式的矩界，并在自举法论证中加以应用，将局部收敛性推广至全局强收敛性。
• 该分析为将简化模型的收敛结果推广至完整集合卡尔曼反演框架提供了理论基础。
• 该方法表明，通过结合概率局部化与矩控制，即使在标准格式失效的情况下，强收敛性依然可实现。