[论文解读] A Strongly Polynomial-Time Algorithm for Weighted General Factors with Three Feasible Degrees

Shuai Shao, Stanislav Živný|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对实数边权的加权广义因子问题的强多项式时间算法，其中每个顶点的度约束最多包含一个长度为一的间隙。该方法利用一种新颖的装置构造，并将匹配可实现性理论扩展至处理非区间约束，证明此类问题无法通过装置还原为加权匹配。主要贡献在于，为此前未知可在强多项式时间内求解的一类加权广义因子问题提供了多项式时间解法。

ABSTRACT

General factors are a generalization of matchings. Given a graph G with a set π(v) of feasible degrees, called a degree constraint, for each vertex v of G, the general factor problem is to find a (spanning) subgraph F of G such that deg_F(v) ∈ π(v) for every v of G. When all degree constraints are symmetric Δ-matroids, the problem is solvable in polynomial time. The weighted general factor problem is to find a general factor of the maximum total weight in an edge-weighted graph. Strongly polynomial-time algorithms are only known for weighted general factor problems that are reducible to the weighted matching problem by gadget constructions. In this paper, we present a strongly polynomial-time algorithm for a type of weighted general factor problems with real-valued edge weights that is provably not reducible to the weighted matching problem by gadget constructions. As an application, we obtain a strongly polynomial-time algorithm for the terminal backup problem by reducing it to the weighted general factor problem.

研究动机与目标

• 开发一种在特定度约束下求解加权广义因子问题的强多项式时间算法。
• 识别并表征一类无法通过装置构造还原为加权匹配问题的度约束。
• 将匹配可实现性理论扩展至具有至多一个间隙长度的非区间度约束。
• 解决具有三种可行度的加权广义因子问题的复杂性状态，特别是当约束既非区间也非奇偶区间时。

提出的方法

• 基于对称∆-拟阵构造一种专用装置，以实现具有至多一个间隙长度的度约束。
• 在装置图中使用交错路径分解，分析可行集的对称差性质。
• 利用完美匹配的结构性质，证明一个度约束是匹配可实现的，当且仅当其所有间隙长度为0或1。
• 通过证明包含混合间隙长度（例如{p, p+1, p+3}）的约束不是匹配可实现的，建立非可约加权广义因子问题的表征。
• 将装置构造应用于将广义因子问题嵌入扩展图中的完美匹配问题，同时保持权重和可行性不变。
• 利用该算法的运行时间仅依赖于顶点和边的数量，而与边权大小无关，从而保证其为强多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当度约束无法通过装置构造还原为加权匹配时，具有实数边权的加权广义因子问题是否可在强多项式时间内求解？
• RQ2 度约束的何种结构条件可确保加权广义因子问题在多项式时间内可解？
• RQ3 是否存在一类间隙长度至多为一的度约束，其不可匹配实现，但仍允许多项式时间解法？
• RQ4 对于具有有界间隙的度约束，匹配可实现∆-拟阵的精确表征是什么？
• RQ5 当可行度集合包含混合间隙长度时，能否为加权广义因子问题构造一个强多项式时间算法？

主要发现

• 本文提出了一种针对实数边权加权广义因子问题的强多项式时间算法，其中每个顶点的度约束最多包含一个长度为一的间隙，且无法通过装置构造还原为加权匹配问题。
• 论文证明，当且仅当所有间隙长度为0或1时，具有至多一个间隙长度的度约束才是匹配可实现的，从而提供了完整的表征。
• 包含三个连续整数但缺少中间值的约束（例如{p, p+1, p+3}）不是匹配可实现的，因此无法通过装置还原为加权匹配。
• 该算法构建了一个装置图，将广义因子问题嵌入扩展图中的完美匹配问题，同时保持最优性和可行性。
• 该解法为强多项式时间，即其运行时间仅取决于顶点和边的数量，而不依赖于边权的大小。
• 该结果将可解的加权广义因子问题类别扩展至区间和奇偶区间约束之外，解决了组合优化领域的一个开放问题。