[论文解读] A structural theory for a 3D isotropic linear-elastic finite body

Eli Hanukah, Bella Goldshtein|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2012

Elasticity and Material Modeling参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于泰勒展开和伽辽金加权余量弱形式的3D各向同性线弹性有限体的非线性结构理论，得到一个由30个常微分方程控制的一致性30自由度模型。该方法可根据几何形状、载荷和材料特性，实现对变形场的解析或数值求解，并提出了将该方法推广至非线性本构关系的途径。

ABSTRACT

The development of a nonlinear structural theory (model) for isotropic linear-elastic finite continua is the main objective of the study. To derive the theory, we used Taylor's multivariable expansion and Bubnov-Galerkin's weak formulation. The resulting formulation is consistent with elasticity theory. As a special case, we consider second order theory, resulting in 30 internal degrees of freedom (IDF). A set of 30 ordinary differential equations (ODE) is derived and must be solved to determine the deformation field. ODEs depend on the initial and actual geometry of the structure, loads and material properties. Our theory can be used to derive analytical or numerical solutions. Aspects of generalization of the method to solids with nonlinear constitutive relations are presented.

研究动机与目标

• 开发一种适用于3D各向同性线弹性有限体的一致性非线性结构理论。
• 通过数学严谨性，推导出与经典弹性理论相容的公式。
• 建立一个能够获得变形场解析或数值解的框架。
• 将该方法推广至具有非线性本构行为的固体。
• 基于多变量展开和弱形式，提供一种系统化的结构建模方法。

提出的方法

• 利用泰勒多变量展开近似3D连续体中的位移场。
• 应用鲍勃诺夫-加尔金弱形式推导控制方程。
• 推导出一个二阶理论，得到30个内部自由度（IDF）。
• 建立一个依赖于初始和实际几何形状、载荷及材料特性的30个常微分方程（ODE）系统。
• 通过变分形式确保与经典弹性理论的一致性。
• 提出通过同一框架将方法扩展至非线性本构关系的路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用变分法为3D各向同性线弹性有限体推导出一致的结构理论？
• RQ2 泰勒展开和弱形式在构建高阶结构模型中起到什么作用？
• RQ3 在3D弹性理论中，二阶近似需要多少个内部自由度？
• RQ4 所推导的ODE系统能否准确描述有限弹性体的变形场？
• RQ5 该框架在多大程度上可推广至非线性材料行为？

主要发现

• 该理论通过泰勒展开和弱形式推导出一个一致的30自由度模型，适用于二阶近似。
• 所得系统由30个耦合的常微分方程组成，用于控制变形场。
• ODE显式依赖于初始和实际几何形状、施加的载荷及材料特性。
• 该公式在数学上与经典弹性理论保持一致。
• 该方法为结构力学中的解析与数值解提供了基础。
• 已概述将该框架推广至非线性本构关系的可行性扩展路径。