[论文解读] A structure and representations of diffeomorphism groups of non-Archimedean manifolds

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|Apr 19, 2000

advanced mathematical theories参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文研究了在非阿基米德域 $\mathbf{F}$ 上的局部 $\mathbf{F}$-凸空间上的非阿基米德流形的微分同胚群的结构与酉表示。其中 $\mathbf{F}$ 是特征为零的非阿基米德域。证明了这些群是单群、完全群，且不是巴拿赫-李群，但每个靠近单位元的元素都位于一个一参子群中，从而可通过具有稠密切空间的紧致子群实现诱导表示理论。

ABSTRACT

Diffeomorphism groups $G$ of manifolds $M$ on locally $\bf F$-convex spaces over non-Archimedean fields $\bf F$ are investigated. It is shown that their structure has many differences with the diffeomorphism groups of real and complex manifolds. It is proved that $G$ is not a Banach-Lie group, but it has a neighbourhood $W$ of the unit element $e$ such that each element $g$ in $W$ belongs to at least one corresponding one-parameter subgroup. It is proved that $G$ is simple and perfect. Its compact subgroups $G_c$ are studied such that a dimension over $\bf F$ of its tangent space $dim_{\bf F}T_eG_c$ in $e$ may be infinite. This is used for decompositions of continuous representations into irreducible and investigations of induced representations.

研究动机与目标

• 研究非阿基米德域上非阿基米德流形的微分同胚群的代数与拓扑结构。
• 确立这些群是单群且完全群，尽管与经典微分同胚群存在根本差异。
• 分析这些群中一参子群与紧致子群的存在性与性质。
• 通过具有稠密切空间张量的紧致子群族，发展诱导酉表示理论。
• 将表示论扩展至非局部紧致、非阿基米德的微分同胚群，适用于非阿基米德量子力学。

提出的方法

• 研究在非阿基米德域上流形上的 $C(t)$-光滑与 $C_0(t)$-光滑微分同胚，重点关注 $1 \leq t \leq \infty$ 及解析情形 $t=an$。
• 证明存在一个单位元的闭开邻域 $W$，使得每个 $g \in W$ 都属于一参子群 $\langle g^z : z \in \mathbf{F} \rangle$。
• 构造紧致子群 $G^n_{u,\mathbf{K}}$，使得其切空间在全群切空间中张成稠密子空间。
• 论文采用通过拟不变测度的诱导表示理论，并构建表示到平方可积截面的希尔伯特空间的嵌入。
• 使用从子群出发的诱导表示理论，特别分析双陪集空间 $N \setminus G / K$ 及相关测度 $\nu$。
• 通过单位算子 $A$ 将张量积表示的单位等价性建立，该算子将内部张量积对角化为双陪集上的直积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 非阿基米德流形上的微分同胚群的结构性质与实或复流形上的有何不同？
• RQ2 尽管该群不是巴拿赫-李群，其一参子群是否能在局部稠密？
• RQ3 具有无限维切空间的紧致子群在非阿基米德微分同胚群的表示理论中起何作用？
• RQ4 在缺乏局部紧致性的情况下，如何构造与分解诱导表示？
• RQ5 经典表示论工具（如诱导表示与张量积）在多大程度上可被适配于非阿基米德微分同胚群？

主要发现

• 非阿基米德流形 $M$ 的微分同胚群 $\mathrm{Diff}(t,M)$ 是单群且完全群，即使它不是巴拿赫-李群。
• 存在单位元的一个闭开邻域 $W$，使得每个元素 $g \in W$ 属于一参子群 $\langle g^z : z \in \mathbf{F} \rangle$。
• $\mathrm{Diff}(t,M)$ 不是巴拿赫-李群，原因在于微分方程解的唯一性缺失以及经典局部连通性不成立。
• 存在紧致子群族 $\{G^n_{u,\mathbf{K}}\}$，使得其在单位元处的切空间的 $\mathbf{K}$-线性张量在全群切空间中稠密。
• 诱导表示 $T^{V,\mu} \otimes T^{W,\mu}$ 与双陪集空间 $\sf D = N \setminus G / K$ 上的直积分 $\int_{\sf D} T(\xi) \, d\nu(\xi)$ 单位等价。
• 存在单位算子 $A$，使得 $A^{-1} T^{V,\mu} \otimes T^{W,\mu} A = \int_{\sf D} T(\xi) \, d\nu(\xi)$，其中每个 $T(\xi)$ 是从子群 $g^{-1}K'g \cap \gamma^{-1}N'\gamma$ 上的表示诱导而来。