[论文解读] A Structure Preserving Krylov Subspace Method for Large Scale Differential Riccati Equations

Antti Koskela, Hermann Mena|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Matrix Theory and Algorithms被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种保持结构的Krylov子空间方法，用于求解大规模对称微分Riccati方程，通过将问题投影到由矩阵A以及初始条件X₀和强迫项Q的低秩因子生成的Krylov子空间上。该方法保持了精确解流的正定性和单调性，并表现出超线性收敛性，通过数值实验验证了其高效的后验误差估计和秩截断策略。

ABSTRACT

We consider a Krylov subspace approximation method for the symmetric differential Riccati equation $\dot{X} = AX + XA^T + Q - XSX$, $X(0)=X_0$. The method we consider is based on projecting the large scale equation onto a Krylov subspace spanned by the matrix $A$ and the low rank factors of $X_0$ and $Q$. We prove that the method is structure preserving in the sense that it preserves two important properties of the exact flow, namely the positivity of the exact flow, and also the property of monotonicity. We also provide a theoretical a priori error analysis which shows a superlinear convergence of the method. This behavior is illustrated in the numerical experiments. Moreover, we derive an efficient a posteriori error estimate as well as discuss multiple time stepping combined with a cut of the rank of the numerical solution.

研究动机与目标

• 开发一种在控制和模型降阶中出现的大规模对称微分Riccati方程的数值高效且保持结构的求解方法。
• 确保数值解保持精确流的关键几何性质，特别是正定性和单调性。
• 为收敛性分析和实际实现提供先验和后验误差估计。
• 通过自适应时间步长和低秩逼近技术实现高效的时域积分。

提出的方法

• 该方法将大规模微分Riccati方程投影到由A以及X₀和Q的低秩因子张成的Krylov子空间上。
• 采用Galerkin投影推导出近似原始方程的降阶动力系统。
• 降阶系统保持了原始方程的结构，确保数值解继承精确流的正定性和单调性。
• 推导出后验误差估计器以指导自适应时间步长并确保解的精度。
• 定期应用秩截断以控制计算成本并保持低秩结构。
• 该方法结合自适应时间步长与低秩更新，以在精度和效率之间取得平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种Krylov子空间方法，以在大规模微分Riccati方程中保持精确解流的正定性和单调性？
• RQ2 所提出的保持结构的Krylov方法的收敛行为如何，能否实现超线性收敛？
• RQ3 如何构建一种高效的后验误差估计器，以在低秩微分Riccati方程背景下指导自适应时间步长？
• RQ4 秩截断对数值解的精度和稳定性有何影响？
• RQ5 如何有效结合自适应时间步长与低秩更新，以保持效率和精度？

主要发现

• 所提出的方法保持了精确解流的正定性和单调性，确保了数值逼近的几何保真性。
• 该方法表现出超线性收敛性，经由理论先验分析和数值实验验证。
• 推导出一种高效的后验误差估计器，可实现可靠的自适应时间步长和误差控制。
• 数值实验表明，将自适应时间步长与低秩截断相结合，可在降低计算成本的同时保持精度。
• 即使在秩减少的情况下，该方法仍保持高精度，显示出在长时间模拟中的鲁棒性。