[论文解读] A structure theorem for geodesic currents and length spectrum compactifications

Marc Burger, Alessandra Iozzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文建立了有限类型双曲曲面上测地流的典范分解，将其分解为与测度叶状结构或正系统长度的流相关的分量。证明了具有正系统长度的此类流具有双Lipschitz等价的交集函数与长度函数，并且映射类群在该开子集上作用为局部离散，从而为Hitchin与极大特征簇的长度谱紧化提供了结构定理。

ABSTRACT

We find a canonical decomposition of a geodesic current on a surface of finite type arising from a topological decomposition of the surface along special geodesics. We show that each component either is associated to a measured lamination or has positive systole. For a current with positive systole, we show that the intersection function on the set of closed curves is bilipschitz equivalent to the length function with respect to a hyperbolic metric. We show that the subset of currents with positive systole is open and that the mapping class group acts properly discontinuously on it. As an application, we obtain in the case of compact surfaces a structure theorem on the length functions appearing in the length spectrum compactification both of the Hitchin and of the maximal character varieties and determine therein an open set of discontinuity for the action of the mapping class group.

研究动机与目标

• 基于沿特殊测地线的拓扑分解，为有限类型双曲曲面上的测地流提供一个典范分解。
• 将分解的分量表征为与测度叶状结构相关，或具有正系统长度。
• 证明具有正系统长度的流在双Lipschitz意义下，其交集函数与双曲度量下的长度函数等价。
• 证明具有正系统长度的流的子集是开集，且映射类群在其上作用为局部离散。
• 将结果应用于确定Hitchin与极大特征簇的长度谱紧化中映射类群作用的开不连续集。

提出的方法

• 定义集合 $\mathcal{E}_\mu$，即满足 $i(\mu, c) = 0$ 但对所有与 $c$ 相交的 $c'$ 有 $i(\mu, c') > 0$ 的特殊闭测地线，其构成一组互不相交的简单闭曲线。
• 将曲面 $\Sigma$ 分解为由 $\mathcal{E}_\mu$ 中曲线围成的子曲面 $\Sigma_v$，并将流 $\mu$ 分解为每个 $\Sigma_v$ 上的分量 $\mu_v$ 与边界曲线上原子部分 $\lambda_c \delta_c$ 的和。
• 引入 $\mu$-较短测地线的概念，推广零 $\mu$-交集测地线的定义，以刻画分解中的二分性。
• 证明对每个分量 $\mu_v$，要么 $\mathrm{Syst}_{\Sigma_v}(\mu_v) > 0$，要么 $\mu_v$ 是填充 $\Sigma_v$ 的测度叶状结构所对应的流。
• 利用Bonahon交集配对的紧致性与连续性，证明系统长度为零的流集合是闭集，从而系统长度为正的流集合是开集。
• 应用Otal的结果：交集映射 $I: \mathbb{P}\mathcal{C}(\Sigma) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}_{\geq 0}^{\mathscr{C}})$ 是到其像的同胚，从而将结构与长度谱紧化联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于沿特殊测地线的拓扑分解，为有限类型双曲曲面上的测地流提供典范分解？
• RQ2 此类分解的分量如何表征：何时分量与测度叶状结构相关，何时具有正系统长度？
• RQ3 具有正系统长度的测地流子集在所有流的空间中是否为开集？
• RQ4 映射类群是否在具有正系统长度的流子集上作用为局部离散？
• RQ5 Hitchin与极大特征簇的长度谱紧化具有何种结构，特别是映射类群作用的不连续集？

主要发现

• 每个有限类型双曲曲面上的测地流 $\mu$ 都有典范分解 $\mu = \sum_{v \in \mathcal{V}_\mu} \mu_v + \sum_{c \in \mathcal{E}_\mu} \lambda_c \delta_c$，其中每个 $\mu_v$ 支持于子曲面 $\Sigma_v$，且要么系统长度为正，要么与填充 $\Sigma_v$ 的测度叶状结构相关。
• 对任意满足 $\mathrm{Syst}(\mu) > 0$ 的流 $\mu$，其交集函数 $c \mapsto i(\mu, \delta_c)$ 与双曲长度函数 $\ell(c)$ 在闭曲线上双Lipschitz等价。
• 集合 $\mathrm{Syst}(0) = \{ \mu \in \mathcal{C}(\Sigma) \mid \mathrm{Syst}(\mu) = 0 \}$ 是闭集，因此其补集 $\Omega = \{ \mu \mid \mathrm{Syst}(\mu) > 0 \}$ 在 $\mathcal{C}(\Sigma)$ 中是开集。
• 映射类群在 $\Omega \subset \mathcal{C}(\Sigma)$ 的开子集（即具有正系统长度的流）上作用为局部离散。
• 在Hitchin与极大特征簇的长度谱紧化中，$\Omega$ 在交集映射 $I$ 下的像构成映射类群作用的一个开不连续子集。
• 对任意 $[\mu] \in \Omega$，存在邻域 $V_{[\mu]}$ 及常数 $0 < c_1 \leq c_2$，使得对所有 $[\nu] \in V_{[\mu]}$ 及所有属于固定紧集的闭测地线 $c$，有 $c_1 \ell(c) \leq i(\nu, \delta_c) \leq c_2 \ell(c)$。