[论文解读] A Structured Systems Approach for Optimal Actuator-Sensor Placement in Linear Time-Invariant Systems

Sérgio Pequito, Soummya Kar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 12被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于结构系统理论的多项式时间算法，用于线性时不变系统中执行器与传感器的最优配置。该算法确定了实现结构可控性/可观测性所需的最少专用输入（或输出）数量，并通过图论方法（包括有向图中的最大匹配和强连通分量分析）表征所有最小可行配置。

ABSTRACT

In this paper we address the actuator/sensor allocation problem for linear time invariant (LTI) systems. Given the structure of an autonomous linear dynamical system, the goal is to design the structure of the input matrix (commonly denoted by $B$) such that the system is structurally controllable with the restriction that each input be dedicated, i.e., it can only control directly a single state variable. We provide a methodology that addresses this design question: specifically, we determine the minimum number of dedicated inputs required to ensure such structural controllability, and characterize, and characterizes all (when not unique) possible configurations of the \emph{minimal} input matrix $B$. Furthermore, we show that the proposed solution methodology incurs \emph{polynomial complexity} in the number of state variables. By duality, the solution methodology may be readily extended to the structural design of the corresponding minimal output matrix (commonly denoted by $C$) that ensures structural observability.

研究动机与目标

• 确定确保线性时不变系统结构可控性所需的最少专用输入数量。
• 在专用输入约束下，表征所有实现结构可控性的输入矩阵 B 的最小可行配置。
• 提供一种可扩展的、时间复杂度为多项式的算法，用于计算最小输入配置，适用于大规模系统（如多智能体网络和电力系统）。
• 通过对偶性，将解决方案扩展至最小输出（传感器）配置问题，以实现结构可观测性。

提出的方法

• 使用有向图（digraph）建模系统动态，表示系统矩阵 A 和输入矩阵 B 的稀疏结构。
• 在由系统状态与输入结构导出的二分图上应用最大匹配算法，以识别右未匹配顶点和自然约束划分。
• 计算系统有向图的强连通分量（SCCs），并将其分类为顶端连接或非顶端连接，以确定结构约束。
• 使用两个子程序：STRATEGY A 用于寻找特定顶点为右未匹配的匹配；STRATEGY B 用于强制在匹配中包含特定边。
• 通过在顶点索引与 SCC 索引之间构建的二分图，评估右未匹配顶点向非顶端连接 SCC 的可能分配，从而构建最大可分配指数。
• 通过迭代构建最小可行输入配置：优先选择非顶端连接 SCC 中的状态，然后选择剩余的右未匹配顶点，确保输入数量最少且满足结构可控性。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性时不变系统中，为确保结构可控性，所需的最少专用输入数量是多少？
• RQ2 在专用输入约束下，必须控制哪些特定状态变量才能实现最小可控性？
• RQ3 如何系统地表征并生成所有最小可行输入配置？
• RQ4 最优输入配置问题是否能以状态变量数量的多项式时间复杂度求解？

主要发现

• 实现结构可控性所需的最少专用输入数量为 p = m + β − α，其中 m 为最大匹配中右未匹配顶点的数量，β 为非顶端连接 SCC 的数量，α 为最大可分配指数。
• 所有最小可行输入配置均可通过算法表征并生成，至多允许输入矩阵 B 的列置换。
• 所提出的算法具有多项式时间复杂度，时间复杂度为 O(αp|X|√|X||EX,X|)，适用于大规模系统。
• 该方法可通过对偶性应用于最小输出（传感器）配置问题，以实现结构可观测性。
• 最大可分配指数 α 通过右未匹配顶点与非顶端连接 SCC 之间的二分匹配计算得出，从而实现输入的最优分配以最大化顶端连接能力。
• 该算法框架可系统化地设计多智能体系统、电力网络和生物网络中的最小控制/估计架构。