[论文解读] A Study of U(N) Lattice Gauge Theory in 2-dimensions

Spenta R. Wadia|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

Theoretical and Computational Physics被引用 71

一句话总结

本文通过将二维U(N)规范场论映射到在恒定电场中位于圆周上的1D库仑气体，研究了其在2D中的行为，利用奇异积分方程在大N极限下实现可解性。在临界点附近，有限N与无限N计算结果表现出极佳的一致性，但在N→∞极限下于E=1处识别出一个虚假的连续相变，表明无限N近似在中间耦合区域存在病态行为。

ABSTRACT

This is an edited version of an unpublished 1979 EFI (U. Chicago) preprint: "The U(N) lattice gauge theory in 2-dimensions can be considered as the statistical mechanics of a Coulomb gas on a circle in a constant electric field. The large N limit of this system is discussed and compared with exact answers for finite N. Near the fixed points of the renormalization group and especially in the critical region where one can define a continuum theory, computations in the thermodynamic limit $(N ightarrow \infty)$ are in remarkable agreement with those for finite and small N. However, in the intermediate coupling region the thermodynamic computation, unlike the one for finite N, shows a continuous phase transition. This transition seems to be a pathology of the infinite N limit and in this simple model has no bearing on the physical continuum limit."

研究动机与目标

• 通过与精确的有限N结果对比，阐明大N极限在U(N)格点规范场论中的相关性与局限性。
• 研究热力学极限（N→∞）是否能准确捕捉物理连续极限行为，特别是在重整化群固定点附近的行为。
• 研究大N极限中相变的性质，并与有限N行为对比，评估其物理意义。
• 建立U(N)规范场论与具有恒定电场的库仑气体之间的精确数学映射，从而在N→∞极限下实现精确可解性。
• 通过对比有限N与无限N计算的解析结果，评估2D U(N)规范场论中1/N展开的有效性。

提出的方法

• 利用随机矩阵理论，将U(N)格点规范场论的配分函数映射为在圆周上具有恒定电场E=2β/N的库仑气体。
• 将配分函数表示为涉及修正贝塞尔函数I_{i-j}(2β)的托普利茨行列式，从而实现有限N下的精确计算。
• 通过带有柯西核的奇异积分方程求解大N极限，确定电荷密度分布作为E的函数。
• 在E=1处识别出相变，此时电荷密度出现能隙，表明在N→∞极限下发生连续相变。
• 采用重整化群方法分析连续极限，并定义物理可观测量具有意义的临界区域。
• 对有限N=2,3,4,5在β=0和β=∞（即弱耦合与强耦合）附近进行配分函数的泰勒展开，与大N结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 2D U(N)格点规范场论的大N极限与精确有限N结果相比如何，特别是在临界区域？
• RQ2 无限N极限是否正确描述了物理连续极限，还是引入了诸如虚假相变等非物理特征？
• RQ3 大N极限中于E=1处观察到的相变具有何种性质，是物理特征还是N→∞近似带来的人为效应？
• RQ4 能否通过库仑气体映射在大N极限下精确求解U(N)规范场论的配分函数，这对1/N展开有何含义？
• RQ5 为何无限N计算在E=1处表现出非解析行为，而有限N结果仍保持解析性？这对1/N展开的有效性有何启示？

主要发现

• 二维U(N)格点规范场论的大N极限可通过圆周上库仑气体的电荷密度奇异积分方程精确求解。
• 当E ≤ 1时，电荷密度无能隙，与电场共轭；当E > 1时出现能隙，表明在E=1处发生连续相变。
• 有限N配分函数在β上是解析的，而无限N极限在E=1处表现出非解析行为，表明在N→∞极限下存在虚假相变。
• 在固定点β=0和β=∞附近，大N与有限N对威尔逊圈ω(β,N)的计算结果完全一致，证实了大N方法在临界区域的可靠性。
• 大N结果在弱耦合下ω(β,N) ≈ β/N = E/2，在强耦合下ω(β,N) ≈ 1 − 1/(2E)，与有限N的泰勒展开一致，验证了临界点附近热力学极限的有效性。
• 映射为托普利茨行列式意味着该理论具有费米子表示，且在N→∞极限下求解此类行列式的问题等价于求解具有柯西核的库仑气体。