[论文解读] A study on new computational local orders of convergence

Miquel Grau-Sánchez, Miquel Noguera+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文提出四种新的计算局部收敛阶——CLOC、ACLOC、ECLOC 和 PCLOC——用于单点迭代法的内存方法，可在无需精确根的情况下准确估计收敛阶。ECLOC 变体基于 Aitken 外推法，对理论收敛阶的近似最为精确，在采用自适应多精度算术的数值实验中表现优于其他方法。

ABSTRACT

Four new variants of the Computational Order of Convergence (COC) of a one-point iterative method with memory for solving nonlinear equations are presented. Furthermore, the way to approximate the new variants to the local order of convergence is analyzed. Three of the new definitions given here do not involve the unknown root. Numerical experiments using adaptive arithmetic with multiple precision and a stopping criteria are implemented without using any known root.

研究动机与目标

• 开发新的计算方法，用于估计非线性方程迭代求解器的局部收敛阶。
• 消除收敛阶估计中对精确根的依赖，因为这在实际应用中不切实际。
• 评估并比较四种新变体（CLOC、ACLOC、ECLOC 和 PCLOC）的准确性和效率。
• 为自适应多精度算术中的收敛阶数值验证提供实用的、无需根的替代方法。

提出的方法

• 提出 CLOC 作为 COC 的变体，使用连续误差项的对数比值，但仍需精确根。
• 引入 ACLOC，利用连续迭代值之间的差值，避免对根的依赖。
• 通过将 Aitken 的 δ² 方法应用于三个连续迭代值，开发 ECLOC 以估计根并计算基于误差的收敛阶。
• 基于函数值的对数比值 |f(xₙ)| / |f(xₙ₋₁)| 定义 PCLOC，提供一种计算量较低的替代方案。
• 在 Maple 中使用自适应多精度算术模拟高精度计算，停止准则基于数字精度。
• 采用固定的停止阈值 η = 2200 位小数，选取最后一个有效迭代值 I 作为最终近似值，以计算四种收敛阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖精确根知识的情况下定义一种计算局部收敛阶？
• RQ2 与 CLOC 相比，新变体 ACLOC、ECLOC 和 PCLOC 在近似理论收敛阶方面有多准确？
• RQ3 在高精度环境下，哪种所提方法能提供最稳定且最准确的收敛阶估计？
• RQ4 在自适应多精度算术下，每种变体的计算成本和数值可靠性如何？

主要发现

• CLOC 能够最准确地逼近理论收敛阶，但需要精确根，这在实际应用中不切实际。
• ECLOC 在所有测试函数中均表现出最窄的误差区间，最小-最大误差界限低至 [3.7e-5, 1.5e-3]，表明其具有卓越的准确性。
• ACLOC 和 PCLOC 提供了可行的无根替代方案，其中 PCLOC 计算成本更低，但准确度低于 ECLOC。
• 对于所有测试函数和迭代方法，四种变体的 λₙ 值均随 n 增大而收敛至理论阶 ρ。
• 达到 2200 位精度所需的迭代次数在 6 到 18 次之间不等，具体取决于函数和方法，ECLOC 表现出最一致的性能。
• 在所有情况下，计算收敛阶的误差 |λₖ − ρ| 均保持在可接受范围内，验证了所提变体的可靠性。