[论文解读] A study on random permutation graphs

Oğuz Gürerk, I\c{s}lak, \"Umit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2019

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 1

一句话总结

本文研究了随机排列图的概率与渐近性质，其中当均匀随机排列中顶点的值构成逆序时，顶点之间形成边。利用概率论与U-统计量工具，作者建立了节点度数、孤立顶点数量以及团数的中心极限定理，并在均匀随机排列模型下推导出关键图统计量的显式渐近分布。

ABSTRACT

For a given permutation $\pi_n$ in $S_n$, a random permutation graph is formed by including an edge between two vertices $i$ and $j$ if and only if $(i - j) (\pi_n(i) - \pi_n (j)) < 0$. In this paper, we study various statistics of random permutation graphs. In particular, the degree of a given node, the number of nodes with a given degree, the number of isolated vertices, and the number of cliques are analyzed. Further, explicit formulas for the probabilities of having a given number of connected components and isolated vertices are obtained.

研究动机与目标

• 分析随机排列图中单个节点的度分布。
• 推导孤立顶点与连通分量数量的精确与渐近分布。
• 建立m-团数与长度至少为m的环数的中心极限定理。
• 推广给定度数的顶点数的期望值，包括孤立顶点与叶子节点。
• 将图论性质与随机排列中的组合结构（如递增与递减子序列）联系起来。

提出的方法

• 通过均匀随机排列 πn ∈ Sn 建模随机排列图，其中当 (i−j)(πn(i)−πn(j)) < 0 时，i 与 j 之间存在边。
• 利用边与排列中逆序的等价性，将图统计量重新表述为排列统计量。
• 应用 Rényi 的经典结果，基于均匀顺序统计量将节点度数表示为独立同分布的伯努利指示变量之和。
• 运用U-统计量理论，证明m-团计数与长度≥m的环计数的中心极限定理。
• 利用对称性与分布等价性，证明长度为m的递减子序列数与长度为m的递增子序列数具有相同的分布。
• 利用最长递增子序列的已知结果（Baik-Deift-Johansson）刻画图中最长环的极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n → ∞ 时，随机排列图中固定节点的度的极限分布是什么？
• RQ2 在随机排列图中，恰好有 k 个孤立顶点的精确概率是多少？
• RQ3 随着 n 增大，随机排列图中 m-团的数量是否满足中心极限定理？
• RQ4 随机排列图中度为 d 的顶点的期望数量是多少？其结果如何推广至孤立顶点与叶子节点？
• RQ5 图中长度至少为 m 的环数与底层排列中递增子序列数之间有何关系？

主要发现

• 随机排列图中中点的度满足中心极限定理：(d(n/2) − n/2)/√n →d N(0, U(1−U))，其中 U ∼ Uniform(0,1)。
• 对于任意固定节点 k，其度在 n → ∞ 时也满足中心极限定理，扩展了中点情形的结果。
• m-团数 Km 满足中心极限定理：(Km − E[Km])/√Var(Km) →d Z，其中 Z 为标准正态分布。
• 图中长度至少为 m 的环数也满足中心极限定理，其显式渐近方差涉及阶乘与二项式系数。
• 度为 d 的顶点的期望数量以闭式表达，推广了孤立顶点与叶子节点的期望结果。
• 最长环长度 Ln 满足 Ln − 2√n / n^{1/6} →d TW，其中 TW 为 Tracy-Widom 分布，将图的最长环与最长递增子序列问题联系起来。