[论文解读] A sub-Riemannian curvature-dimension inequality, volume doubling property and the Poincaré inequality

Fabrice Baudoin, Bonnefont, Michel+1 more|Jul 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文建立了满足广义曲率-维度条件且具有非负曲率的次黎曼流形的体积加倍性质、Poincaré不等式以及抛物Harnack不等式。通过分析热半群的反向对数Sobolev不等式与非线性反向Harnack不等式，作者证明了该曲率条件蕴含全局几何与分析性质，其性质与非负曲率黎曼流形上的性质类似。

ABSTRACT

Let $\mathbb{M}$ be a smooth connected manifold endowed with a smooth measure $μ$ and a smooth locally subelliptic diffusion operator $L$ satisfying $L1=0$, and which is symmetric with respect to $μ$. We show that if $L$ satisfies, with a non negative curvature parameter, the generalized curvature inequality introduced by the first and third named authors in \cite{BG}, then the following properties hold: 1 The volume doubling property; 2 The Poincaré inequality; 3 The parabolic Harnack inequality. The key ingredient is the study of dimensional reverse log-Sobolev inequalities for the heat semigroup and corresponding non-linear reverse Harnack type inequalities. Our results apply in particular to all Sasakian manifolds whose horizontal Webster-Tanaka-Ricci curvature is non negative, all Carnot groups with step two, and to wide subclasses of principal bundles over Riemannian manifolds whose Ricci curvature is non negative.

研究动机与目标

• 将全局几何与分析不等式——体积加倍、Poincaré与抛物Harnack不等式——从黎曼情形推广至次黎曼流形。
• 建立[BG1]中引入的广义曲率-维度不等式在次黎曼几何中蕴含这些关键性质。
• 将Yau的Liouville定理与Colding-Minicozzi关于多项式增长调和函数的有限维性结果推广至次黎曼情形。
• 为具有曲率下界的次黎曼空间中的热核估计、函数不等式与几何性质提供统一分析框架。
• 证明曲率-维度条件足以在非欧几里得、非椭圆情形（如Carnot群与Sasakian流形）中导出强分析工具。

提出的方法

• 利用与扩散算子 $L$ 相关的热半群的反向对数Sobolev不等式。
• 从曲率-维度条件推导非线性反向Harnack不等式，以控制热核的衰减与增长。
• 利用热核的小时间渐近行为建立双侧高斯界。
• 应用Kusuoka-Stroock方法，从体积加倍性质推导Poincaré不等式。
• 借助Dirichlet空间与度量测度结构理论，将体积加倍与Poincaré不等式与抛物Harnack不等式联系起来。
• 结合热核估计与函数不等式的结果，证明热方程正解的尺度不变Harnack估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次黎曼几何中，广义曲率-维度不等式是否蕴含体积加倍性质？
• RQ2 在次黎曼情形下，能否从曲率-维度条件推导出Poincaré不等式？
• RQ3 满足曲率-维度条件的次黎曼流形上的热方程是否满足抛物Harnack不等式？
• RQ4 Yau关于多项式增长调和函数空间有限维性的猜想能否推广至次黎曼流形？
• RQ5 曲率-维度条件对热半群及其相关函数不等式的行为有何影响？

主要发现

• 所有满足广义曲率-维度不等式且曲率参数非负的次黎曼流形均满足体积加倍性质。
• Poincaré不等式已建立，其常数 $C^{*}$ 依赖于 $m$、$ ho_2$ 与 $ ho_1$，且对次黎曼距离下的所有球均成立。
• 正解的抛物Harnack不等式在圆柱区域中成立，其常数 $C$ 与解及尺度无关。
• 具有次数 $N$ 多项式增长的 $L$-调和函数空间是有限维的，该结果推广了Colding-Minicozzi在次黎曼几何中的结果。
• 在曲率-维度条件下，热核具有双侧高斯界，从而可推导出其余所有不等式。
• 本结果适用于具有非负水平Webster-Tanaka-Ricci曲率的Sasakian流形、二步Carnot群，以及某些非负曲率黎曼流形上的主丛。