[论文解读] A sufficient condition for a hypersurface to be isoparametric

Zizhou Tang, Dongyi Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 6

一句话总结

该论文通过证明若第二基本形式的对偶张量的前 $n-1$ 阶幂的迹为常数，且标量曲率积分非负，则所有特征值为常数，从而推出等距性，建立了单位球面中超曲面为等距的充分条件。该结果将 de Almeida 与 Brito 在三维情形的定理推广至高维，为陈氏猜想（关于具有常数标量曲率的极小超曲面）提供了有力证据。

ABSTRACT

Let $M^n$ be a closed Riemannian manifold on which the integral of the scalar curvature is nonnegative. Suppose $\mathfrak{a}$ is a symmetric $(0,2)$ tensor field whose dual $(1,1)$ tensor $\mathcal{A}$ has $n$ distinct eigenvalues, and $\mathrm{tr}(\mathcal{A}^k)$ are constants for $k=1,\cdots, n-1$. We show that all the eigenvalues of $\mathcal{A}$ are constants, generalizing a theorem of de Almeida and Brito \cite{dB90} to higher dimensions. As a consequence, a closed hypersurface $M^n$ in $S^{n+1}$ is isoparametric if one takes $\mathfrak{a}$ above to be the second fundamental form, giving affirmative evidence to Chern's conjecture.

研究动机与目标

• 将 de Almeida 与 Brito 于 1990 年关于 $S^4$ 中等距超曲面的定理推广至高维。
• 基于张量迹与曲率约束，建立闭超曲面在 $S^{n+1}$ 中为等距的充分条件。
• 为 $S^{n+1}$ 中具有常数标量曲率的极小超曲面的陈氏猜想强版本提供肯定性证据。
• 证明在第二基本形式满足特定迹与 Codazzi 条件下，主曲率为常数，从而推出等距性。

提出的方法

• 假设在紧致黎曼 $n$-流形上存在一个对称 $(0,2)$ 张量场 $\mathfrak{a}$，且满足 $\int_M R_M \geq 0$。
• 考虑 $\mathfrak{a}$ 的对偶 $(1,1)$ 张量 $\mathcal{A}$，并假设其具有 $n$ 个互异的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$。
• 施加条件：对 $k = 1, \dots, n-1$，$\mathrm{tr}(\mathcal{A}^k)$ 为常数。
• 利用 $\mathfrak{a}$ 的 Codazzi 条件，通过对称张量恒等式与体积形式 $\Omega$ 推导出微分形式 $d\psi$。
• 对 $d\psi$ 应用斯托克斯定理，得到一个包含标量曲率 $R_M$ 与对称和 $A$ 的积分恒等式。
• 利用引理 2.1 证明 $\int_M A \cdot \Omega \leq 0$，并结合 $\int_M R_M \geq 0$ 推出 $\int_M R_M = 0$ 且 $A \equiv 0$，从而推出特征值为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第二基本形式满足何种条件下，$S^{n+1}$ 中的闭超曲面为等距？
• RQ2 de Almeida 与 Brito 在三维情形关于常平均曲率与非负标量曲率的结果能否推广至高维？
• RQ3 若对 $k=1,\dots,n-1$，$\mathrm{tr}(\mathcal{A}^k)$ 为常数，是否意味着 $\mathcal{A}$ 的所有特征值均为常数？
• RQ4 标量曲率积分在强制特征值为常数与等距性中起何作用？

主要发现

• 若 $\mathfrak{a}$ 是满足 Codazzi 条件的张量，且具有 $n$ 个互异特征值，且对 $k=1,\dots,n-1$，$\mathrm{tr}(\mathcal{A}^k)$ 为常数，则 $\mathrm{tr}(\mathcal{A}^n)$ 也为常数，从而所有特征值 $\lambda_i$ 均为常数。
• 在给定条件下，标量曲率的积分 $\int_M R_M$ 必须恒为零，即 $\int_M R_M \equiv 0$。
• 假设 $\int_M R_M \geq 0$ 是至关重要的；若无此假设，结论将不成立，如积分恒等式中的矛盾所示。
• 证明依赖于构造一个全局定义的微分形式 $\psi$，并应用斯托克斯定理，导出对 $A$ 的积分为零的条件，从而强制特征值为常数。
• 该结果将 de Almeida 与 Brito 于 1990 年在 $n=3$ 时的定理推广至所有 $n > 3$，为等距性提供了高维充分条件。
• 该工作为陈氏猜想的强版本提供了有力证据：在 $S^{n+1}$ 中，具有常数标量曲率的紧致极小超曲面必为等距。