[论文解读] A sufficient criterion to determine planar self-Cheeger sets

Giorgio Saracco|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文通过要求平面 Jordan 区域满足半径为 $ R = |\Omega|/P(\Omega) $ 的内部滚动圆盘性质，建立了其为自 Cheeger 集的充分条件，从而确保 $ \Omega $ 最小化指定曲率泛函 $ \mathcal{F}_\kappa[E] = P(E) - \kappa|E| $，其中 $ \kappa = R^{-1} $。关键结果是基于可达性与闵可夫斯基结构的几何准则，可保证自 Cheeger 状态，并在严格滚动条件下保证唯一性。

ABSTRACT

We show a sufficient criterion to determine if a planar set $Ω$ is a minimizer of the prescribed curvature functional among all of its subsets. As a special case, we derive a sufficient criterion to determine if $Ω$ is a self-Cheeger set, i.e. if it minimizes the ratio $P(E)/|E|$ among all of its subsets. Specifically, if a Jordan domain $Ω$ possesses the interior disk property of radius $|Ω|/P(Ω)$, then it is a self-Cheeger set; if it possesses the strict interior disk property then it is a minimal Cheeger set, i.e. the unique minimizer. As a side effect we provide a way to build self-Cheeger sets.

研究动机与目标

• 为平面集 $ \Omega $ 提供一个充分条件，使其为自 Cheeger 集，即在所有满足 $ E \subset \Omega $ 的子集 $ E $ 中最小化比值 $ P(E)/|E| $。
• 建立基于几何可达性与闵可夫斯基结构的准则，以确保 $ \Omega $ 最小化指定曲率泛函 $ \mathcal{F}_\kappa[E] = P(E) - \kappa|E| $。
• 提供一种利用闵可夫斯基和与足够可达性的种子集构造自 Cheeger 集的构造性方法。
• 阐明在 Cheeger 问题背景下，内部滚动圆盘性质、可达性与极小化器唯一性之间的关系。

提出的方法

• 本文引入半径 $ R $ 的内部滚动圆盘性质，通过补集 $ \mathbb{R}^2 \setminus \Omega $ 的可达性定义，要求 $ \operatorname{reach}(\mathbb{R}^2 \setminus \Omega) \geq R $。
• 通过禁止 $ \partial\Omega $ 上的对径点位于任意半径为 $ R $ 的内部滚动球边界上，定义严格内部滚动圆盘性质。
• 证明利用了闵可夫斯基加法的正则化效应：若 $ \omega $ 的可达性大于 $ R $，则 $ \Omega = \omega \oplus B_R $ 为 $ C^{1,1} $ 且满足滚动圆盘性质。
• 应用 Steiner 公式于 $ \Omega = \omega \oplus B_R $ 的面积与周长，关联 $ |\Omega| $、$ P(\Omega) $ 与 $ \omega $ 的外闵可夫斯基内容。
• 利用如下事实：若 $ R \leq |\Omega|/P(\Omega) $，则 $ \Omega $ 是 $ \mathcal{F}_\kappa $ 的极小化器，且等式成立时有 $ \kappa = R^{-1} = h_\Omega $，从而保证自 Cheeger 状态。
• 唯一性通过反证法证明：若严格滚动条件不成立，则 $ \partial\Omega $ 上存在对径投影，违反 $ \Omega_R $ 中投影的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，平面 Jordan 区域 $ \Omega $ 是自 Cheeger 集，即在所有满足 $ E \subset \Omega $ 的子集 $ E $ 中最小化 $ P(E)/|E| $？
• RQ2 如何利用闵可夫斯基加法与可达性性质，构造自 Cheeger 集的显式例子？
• RQ3 补集的可达性在确定指定曲率泛函 $ \mathcal{F}_\kappa $ 的极小化器的存在性与唯一性方面起什么作用？
• RQ4 内部滚动圆盘性质能否作为自 Cheeger 状态的充分条件？其与凸区域中已知必要条件的关系如何？
• RQ5 严格内部滚动圆盘性质在多大程度上确保 $ \mathcal{F}_\kappa $ 的极小化器的唯一性？

主要发现

• 若 Jordan 区域 $ \Omega $ 满足半径 $ R = |\Omega|/P(\Omega) $ 的内部滚动圆盘性质，则 $ h_\Omega = R^{-1} $，且 $ \Omega $ 为自 Cheeger 集。
• 严格内部滚动圆盘性质确保 $ \Omega $ 是 $ \mathcal{F}_{R^{-1}} $ 的唯一极小化器，因此为极小 Cheeger 集。
• 对任意 $ r < R $，若 $ \Omega $ 满足半径 $ R $ 的内部滚动圆盘性质，则 $ \Omega $ 是 $ \mathcal{F}_{r^{-1}} $ 的唯一极小化器。
• 构造 $ \Omega = \omega \oplus B_R $，其中 $ \operatorname{reach}(\omega) > R $ 且 $ |\omega| = \pi R^2 $，可得到满足 $ |\Omega|/P(\Omega) = R $ 的自 Cheeger 集。
• 该准则为充分但非必要；某些非凸集（如特定蝴蝶结形区域）可为自 Cheeger 集，但不满足滚动圆盘条件。
• 结果表明，当 $ R \leq |\Omega|/P(\Omega) $ 时，$ \Omega $ 为 $ \mathcal{F}_\kappa $ 的极小化器，且等式成立时即为自 Cheeger 状态。