[论文解读] A Summary of Problems and Results related to the Caccetta-Haggkvist Conjecture

Blair D. Sullivan|ArXiv.org|May 24, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用 20

一句话总结

本文对有向图论中的 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想及其相关问题进行了全面综述，整合了部分结果、近似界以及开放猜想。它总结了在最小出度条件下强制产生短有向圈的进展，包括小 r 值的精确结果、具有小加法常数的近似界，以及与 Seymour 的第二邻域猜想和 r-正则有向图的联系。

ABSTRACT

This paper is an attempt to survey the current state of our knowledge on the Caccetta-Haggkvist conjecture and related questions. In January 2006 there was a workshop hosted by the American Institute of Mathematics in Palo Alto, on the Caccetta-Haggkvist conjecture, and this paper partly originated there, as a summary of the open problems and partial results presented at the workshop. This summary includes results and open problems related to Caccetta-Haggkvist, Seymour's Second Neighborhood Conjecture, the k/2 Conjecture (for nonedges), and connections with algebraic number theory through Cayley graphs, along with a number of other related topics.

研究动机与目标

• 总结截至 2006 年 1 月的 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想的研究现状，该总结基于美国数学研究所举办的一场研讨会。
• 整理并系统化与该猜想相关的部分结果、近似界以及相关猜想。
• 阐明 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想与其他有向图论核心问题之间的联系，例如 Seymour 的第二邻域猜想和 Behzad-Chartrand-Wall 猜想。
• 以结构化方式呈现开放问题与猜想，以指导极值有向图论的未来研究。
• 为研究人员提供一份统一参考，涵盖该猜想当前状态及其在各类图类与度条件下的影响。

提出的方法

• 综述并整理已知的 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想结果，包括小 r 值（r=2,3,4,5）的证明，以及 r ≤ √(n/2) 时的渐近界。
• 分析近似结果，即以 n/r + c 的形式界定围长，其中 c 为小常数（例如 Shen 得到 c=73），并使用组合与概率技术。
• 研究特殊情况，如 r = n/3，目标是使 δ⁺ ≥ cn 强制产生长度至多为 3 的有向圈，并最小化常数 c。
• 探究与 Seymour 的第二邻域猜想的联系，包括使用概率与代数方法来界定第二邻域的大小。
• 提出并分析结构猜想，如 Lichiardopol 的反馈弧集猜想和 Thomassé 的路径长度猜想，与围长的关系。
• 引入并分析 3/4-有向图与多数有向图类，作为极值例子的潜在候选，提出其结构特性的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小出度为 r 的简单 n 顶点有向图中，有向圈的最小长度是多少，它与界 ⌈n/r⌉ 的关系如何？
• RQ2 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想是否对所有 r 成立，还是对每个 r 只存在有限多个反例？
• RQ3 使得 δ⁺ ≥ r 蕴含长度至多为 n/r + c 的有向圈的最优加法常数 c 是多少？
• RQ4 每个最小出度至少为 n/3 的有向图是否都包含有向三角形，该常数的最小值是多少？
• RQ5 3/4-有向图（通过多数排列定义）是否满足 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想，它们具有哪些结构特性？

主要发现

• Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想对 r=2、r=3、r=4 和 r=5 成立，分别由 Caccetta 和 H"{a}ggkvist、Hamidoune 以及 Ho{à}ng 和 Reed 证明。
• Shen 证明了当 n ≥ 2r² − 3r + 1 时，任意最小出度为 r 的有向图都存在长度至多为 ⌈n/r⌉ 的圈，从而为每个 r 确定了有限例外集。
• 在 r = n/3 的情况下，使得 δ⁺ ≥ cn 强制产生长度至多为 3 的有向圈的常数 c 的最佳已知上界为 c ≤ 3 − √7 ≈ 0.3542。
• Shen 关于近似围长的结果给出 g ≤ 3⌈n/r ln((2+√7)/3)⌉ ≈ 1.312n/r，优于早期结果。
• Seymour 的第二邻域猜想已知对竞赛图（Dean 猜想）、出度 ≤ 6 的有向图，以及第一邻域大小的分数 γ ≈ 0.657 成立。
• Lichiardopol 的猜想蕴含 Caccetta-H"{a}ggkvist 猜想，并提出每个有向图都存在一个最小反馈弧集，其中包含长度为 δ⁺ 的路径。