[论文解读] A summation formula for the Rankin-Selberg monoid via the circle method

Jayce R. Getz|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

该论文利用圆法，为数域上的Rankin-Selberg幺半群建立了求和公式，将Poisson求和公式推广至非交换设置。它推导出Rankin-Selberg L-函数的新zeta积分，并证明了关于在伽罗瓦群作用下被扭的自守表示的非交换扭曲迹公式。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field and let $\mathbb{A}_F$ be its ring of adeles. Let $B$ be a quaternion algebra over $F$ and let $ u:B o F$ be the reduced norm. Consider the reductive monoid $M$ over $F$ whose points in an $F$-algebra $R$ are given by \begin{align*} M(R):=\{(\gamma_1,\gamma_2) \in (B \otimes_F R)^{2}: u (\gamma_1)= u(\gamma_2)\}. \end{align*} Motivated by an influential conjecture of Braverman and Kazhdan we prove a summation formula analogous to the Poisson summation formula for certain spaces of functions on the monoid. As an application, we define new zeta integrals for the Rankin-Selberg $L$-function and prove their basic properties. We also use the formula to prove a nonabelian twisted trace formula, that is, a trace formula whose spectral side is given in terms of automorphic representations of the unit group of $M$ that are isomorphic (up to a twist by a character) to their conjugates under a simple nonabelian Galois group.

研究动机与目标

• 为与四元数代数相关的拟李群幺半群，发展类似于Poisson求和公式的求和公式。
• 通过基于幺半群的调和分析，解决Braverman-Kazhdan关于L-函数函数方程的猜想。
• 利用幺半群结构，定义并研究Rankin-Selberg L-函数的新zeta积分。
• 建立在伽罗瓦共轭作用下至多被扭的自守表示的非交换扭曲迹公式。
• 将迹公式技术从阿贝尔情形扩展至自守谱上非阿贝尔伽罗瓦作用的情形。

提出的方法

• 将拟李群幺半群M(R)定义为(B ⊗F R)²中的对偶(γ₁, γ₂)，使得在范数映射u: B → F下具有相等的约化范数。
• 应用圆法分析幺半群上的指数和，利用其在adele空间上的调和分析。
• 在M(𝔸_F)上构造具有足够衰减性和光滑性的测试函数，以支持求和公式的建立。
• 推导出一个求和公式，将M的有理点上的和与M的单位群的自守表示上的谱和联系起来。
• 利用该公式定义Rankin-Selberg L-函数的zeta积分，并证明其收敛性与亚纯延拓性。
• 通过分析在特征扭下与伽罗瓦共轭同构的自守表示，建立非交换扭曲迹公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为数域上的Rankin-Selberg幺半群构造一个类似于Poisson求和公式的求和公式？
• RQ2 从该幺半群结构中自然出现的Rankin-Selberg L-函数的zeta积分是什么？其解析性质如何？
• RQ3 当伽罗瓦群通过扭作用非平凡地作用于自守表示时，能否推导出非交换扭曲迹公式？
• RQ4 圆法如何适应具有非平凡范数条件的非阿贝尔拟李群幺半群？
• RQ5 该求和公式在M的单位群的自守表示方面的谱解释是什么？

主要发现

• 通过圆法，为Rankin-Selberg幺半群建立了求和公式，将Poisson求和公式推广至非阿贝尔设置。
• 定义了Rankin-Selberg L-函数的新zeta积分，并证明其收敛性及亚纯延拓性。
• 求和公式的谱侧被解释为M的单位群的自守表示。
• 证明了非交换扭曲迹公式，其中自守表示与它们的伽罗瓦共轭在特征扭下同构。
• 该方法为在经典迹公式理论之外的非阿贝尔伽罗瓦设置下研究L-函数与迹公式提供了新框架。