[论文解读] A Super-Grover Separation Between Randomized and Quantum Query Complexities

Shalev Ben-David|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文构建了一个总布尔函数 $f$，其展现出超格罗弗的量子加速，达到 $R(f) = \tilde{\Omega}(Q(f)^{5/2})$，从而反驳了长期存在的猜想，即所有总函数均有 $R(f) = O(Q(f)^2)$。在亚伦森与安布赖斯的额外猜想下，分离程度进一步提升至 $R(f) = \tilde{\Omega}(Q(f)^3)$，通过将 Forrelation 与 Or-And 函数的新颖组合，结合作弊表机制，将量子优势放大至超出格罗弗二次极限的范围。

ABSTRACT

We construct a total Boolean function $f$ satisfying $R(f)=\ ilde{\\Omega}(Q(f)^{5/2})$, refuting the long-standing conjecture that $R(f)=O(Q(f)^2)$ for all total Boolean functions. Assuming a conjecture of Aaronson and Ambainis about optimal quantum speedups for partial functions, we improve this to $R(f)=\ ilde{\\Omega}(Q(f)^3)$. Our construction is motivated by the G\\"o\\"os-Pitassi-Watson function but does not use it.

研究动机与目标

• 反驳关于总布尔函数的随机查询复杂度 $R(f)$ 始终满足 $O(Q(f)^2)$ 的猜想。
• 构造一个总函数，使得量子算法在随机算法之上实现超格罗弗加速。
• 证明在总函数查询复杂度中，量子优势可超越二次加速。
• 开发一种新构造技术，结合 Forrelation、Or-And 组合与作弊表机制，以实现更强的分离。

提出的方法

• 将 Forrelation 函数与多个 Or-And 函数实例组合，构建一种称为 Forandlation 的混合函数，以放大随机与量子查询复杂度之间的差距。
• 引入一组大小为 $m^{10}$ 的候选作弊表，其中每个条目包含 Or-And 实例的证书以及指向 Forandlation 输入位的指针。
• 使用 $10\log m$ 个 Forandlation 实例的输出作为索引，选择特定的作弊表，使量子算法能以 $\tilde{O}(m)$ 次查询验证其正确性。
• 设计该函数，使其在作弊表无效或验证失败时输出 0，从而在保持量子优势的同时确保函数的总性。
• 利用 Forandlation 输入的困难分布，证明随机算法必须进行 $\tilde{\Omega}(m^{5/2})$ 次查询，才能区分有效与无效的作弊表。
• 通过一系列二进制字符串的混合论证，表明任何高效的随机算法都必须区分 Forandlation 的困难分布，从而推导出强下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个总布尔函数，其随机查询复杂度的量子加速可超越格罗弗极限 $Q(f)^2$？
• RQ2 是否可以构造一个总函数，使得 $R(f)$ 的增长速度超过 $Q(f)^2$，从而反驳长期存在的 $O(Q^2)$ 猜想？
• RQ3 哪些结构组件使得量子算法能在总函数查询复杂度中实现超格罗弗加速？
• RQ4 如何设计作弊表机制，使得量子算法能高效利用它，而随机算法无法做到？
• RQ5 在关于部分函数量子加速的合理猜想下，该分离程度是否可进一步提升？

主要发现

• 本文构建了一个总布尔函数 $f$，使得 $R(f) = \tilde{\Omega}(Q(f)^{5/2})$，展示了随机与量子查询复杂度之间存在超格罗弗分离。
• 在亚伦森-安布赖斯猜想下，分离程度提升至 $R(f) = \tilde{\Omega}(Q(f)^3)$，表明量子优势更强。
• 该构造避免了对 Göös-Pitassi-Watson 函数的依赖，引入了一种基于 Forrelation 与 Or-And 组合及作弊表机制的新方法。
• 随机查询复杂度的下界 $\tilde{\Omega}(m^{5/2})$ 通过 Forandlation 输入分布的混合论证及一系列二进制字符串推导得出。
• 量子算法通过使用作弊表验证证书，实现 $\tilde{O}(m)$ 次查询复杂度，每项 Or-And 实例仅需 $O(\sqrt{m})$ 次查询。
• 该证明技术具有通用性，可推广至其他函数（不仅限于 Forrelation），暗示其在查询复杂度分离方面具有更广泛的应用潜力。