[论文解读] A super-polynomial quantum-classical separation for density modelling

Niklas Pirnay, Ryan Sweke+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

该论文通过构建一类分布，实现了密度建模中的超多项式量子优势。该分布类在经典学习下被证明是难以学习的，其依据是弱伪随机函数（weak PRFs），而量子方面则通过改进的量子生成器-学习器实现高效评估。该结果在标准密码学假设下，首次严格证明了评估器学习中的量子-经典分离。

ABSTRACT

Density modelling is the task of learning an unknown probability density function from samples, and is one of the central problems of unsupervised machine learning. In this work, we show that there exists a density modelling problem for which fault-tolerant quantum computers can offer a super-polynomial advantage over classical learning algorithms, given standard cryptographic assumptions. Along the way, we provide a variety of additional results and insights, of potential interest for proving future distribution learning separations between quantum and classical learning algorithms. Specifically, we (a) provide an overview of the relationships between hardness results in supervised learning and distribution learning, and (b) show that any weak pseudo-random function can be used to construct a classically hard density modelling problem. The latter result opens up the possibility of proving quantum-classical separations for density modelling based on weaker assumptions than those necessary for pseudo-random functions.

研究动机与目标

• 通过证明密度建模而非仅生成建模的分离，弥合量子优势研究中的空白。
• 表明弱伪随机函数（PRFs）足以构造经典上困难的密度建模问题，从而减少对强密码学假设的依赖。
• 提供一个框架，用于基于更弱的困难性假设，证明未来在分布学习中的量子-经典分离。
• 展示量子算法能够高效学习此前被证明对经典生成器学习困难的分布类的评估器（密度函数）。
• 通过识别在噪声量子算法下可被破解的假设，探索近场设备上实现量子优势的可行性。

提出的方法

• 利用弱PRF构建一类在经典评估器学习下困难的分布，推广了基于全强度PRF的先前结果。
• 通过将Sweke等人（2021）的量子生成器-学习器架构修改为输出概率权重而非样本，将其改编为量子评估器-学习器。
• 使用判定性迪菲-赫尔曼（DDH）假设，建立所构造分布类在评估器学习上的经典困难性。
• 将确定性量子算法用于离散对数问题作为子程序，从样本中恢复密钥，从而实现密度函数的精确评估。
• 结合已知参数的量子密钥学习算法，构建一个完整且高效的零误差量子评估器-学习器（ε=0, δ=0）。
• 依赖于密钥和公开参数完全指定密度函数的事实，使量子算法能够恢复评估器。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在密度建模中严格建立超多项式量子-经典优势，而不仅限于生成建模？
• RQ2 能否使用弱PRF——其假设强度弱于标准PRF——来证明评估器学习中的经典困难性？
• RQ3 能否使用具有可证明效率的容错量子算法，在密度建模中实现量子优势？
• RQ4 在可能被近场量子设备破解的假设下，能否建立评估器学习的经典困难性？
• RQ5 能否使用在噪声、NISQ时代硬件上运行的量子算法，而非容错系统，证明量子-经典分离？

主要发现

• 在判定性迪菲-赫尔曼（DDH）假设下，密度建模中建立了超多项式量子-经典分离。
• 任何弱PRF均可用于构建经典上困难的密度建模问题，显著弱化了实现经典困难性所需的密码学假设。
• 量子评估器-学习器实现了零误差的精确学习（ε=0, δ=0），使用了Sweke等人（2021）的量子生成器-学习器的改进版本。
• 量子算法通过使用确定性离散对数子程序，从样本中恢复密钥，从而实现密度函数的完整重构。
• 经典评估器学习的困难性源于：从样本中学习密钥等价于破解弱PRF，而该问题被假设为困难。
• 该结果为基于可能被近场量子算法破解的假设（如基于LPN的弱PRF）证明分布学习中的量子优势开辟了道路。