[论文解读] A supercongruence involving Delannoy numbers and Schröder numbers

Ji-Cai Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了关于 Delannoy 数与 Schröder 数模 $p^4$ 的超同余式，证实了 Z.-W. Sun 于 2011 年提出的猜想。通过组合恒等式、$p$-进分析以及伯努利数与调和数的性质，作者建立了对于素数 $p > 3$，有 $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k \equiv 2p^3 B_{p-3} - 2p H^*_{p-1} \pmod{p^4}$，其中 $B_n$ 为伯努利数，$H^*_{p-1}$ 为交错调和数。

ABSTRACT

The Delannoy numbers and Schröder numbers are given by \begin{align*} D_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}{n+k\choose k}\quad ext{and}\quad S_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}{n+k\choose k}\frac{1}{k+1}, \end{align*} respectively. Let $p>3$ be a prime. We mainly prove that \begin{align*} \sum_{k=1}^{p-1}D_k S_k\equiv 2p^3B_{p-3}-2pH^{*}_{p-1} \pmod{p^4}, \end{align*} where $B_n$ is the $n$-th Bernoulli number and those $H^{*}_n$ are the alternating harmonic numbers given by $H^{*}_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}$. This supercongruence was originally conjectured by Z.-W. Sun in 2011.

研究动机与目标

• 证明关于奇素数 $p > 3$ 的 Delannoy 数与 Schröder 数模 $p^4$ 的超同余式。
• 通过 $p$-进方法严格证明 Z.-W. Sun（2011 年）提出的猜想，即和 $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k$ 与伯努利数和交错调和数之间的关系。
• 通过高级 $p$-进技术将已知组合数同余式的模从 $p$ 提升至 $p^4$，实现推广。

提出的方法

• 利用涉及二项式系数及 $D_k(x)$ 和 $S_k(x)$ 的生成函数的组合恒等式，作者推导出 $\sum_{k=0}^{p-1} D_k(x) S_k(x)$ 的三重和表示形式。
• 应用 Chu-Vandermonde 恒等式以及 $\sum_{k=s}^{n-1} \binom{k}{s} \binom{k+s}{s}$ 的求和公式，将和式转化为适合进行 $p$-进分析的形式。
• 利用恒等式 $\sum_{s=0}^{m} \binom{2s}{s} \binom{s}{m-s} \frac{(-1)^s}{s+1} = (-1)^m$，作者在模 $p$ 下简化和式，并确立常数项的同余关系。
• 应用 $\frac{1}{k+p}$ 和 $\frac{1}{(k+p)^2}$ 的 $p$-进展开，作者将高阶和式约化为包含调和数 $H^{(2)}_s$ 和伯努利数的表达式。
• 借助 Lehmer 已知的同余式，如 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2p}{3} B_{p-3} \pmod{p^2}$，作者将和式与伯努利数关联起来。
• 利用对称性 $H^{(2)}_s + H^{(2)}_{p-1-s} \equiv 0 \pmod{p}$ 以及二项式系数的 $p$-进整性，作者消去多余项，从而分离出关键同余式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数 $p > 3$，和 $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k$ 是否满足模 $p^4$ 的超同余式？
• RQ2 Z.-W. Sun 于 2011 年提出的猜想——该和与 $2p^3 B_{p-3} - 2p H^*_{p-1}$ 相关——能否通过 $p$-进方法严格证明？
• RQ3 交错调和数 $H^*_{p-1}$ 和伯努利数 $B_{p-3}$ 如何在涉及 Delannoy 数与 Schröder 数的和式的 $p$-进展开中出现？

主要发现

• 本文确认了对于所有素数 $p > 3$，有 $\sum_{k=1}^{p-1} D_k S_k \equiv 2p^3 B_{p-3} - 2p H^*_{p-1} \pmod{p^4}$，从而解决了 Sun 的 2011 年猜想。
• 对于任意不被 $p$ 整除的整数 $x$，有 $\sum_{k=0}^{p-1} D_k(x) S_k(x) \equiv 0 \pmod{p}$，确立了基础同余式。
• 恒等式 $\sum_{s=0}^{m} \binom{2s}{s} \binom{s}{m-s} \frac{(-1)^s}{s+1} = (-1)^m$ 被用于简化 $p$-进和式，并分离出主项。
• 同余式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2p}{3} B_{p-3} \pmod{p^2}$ 被应用以建立调和和与伯努利数之间的联系。
• 同余式 $\sum_{s=0}^{p-1} H^{(2)}_s \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \frac{p-k}{k^2} \pmod{p^4}$ 被用于计算包含 $H^{(2)}_s$ 的 $p^3$ 阶项，从而得出最终结果。
• 证明依赖于将和式拆分为 $m < p$ 与 $m \geq p$ 两个区间，并利用 $p$-进展开分离出伯努利数与调和数的贡献。