[论文解读] A Superconvergent Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Dirichlet Boundary Control of Elliptic PDEs

Weiwei Hu, Jiguang Shen+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文提出了一种混合不连续伽辽金（HDG）方法，用于求解由椭圆PDE控制的狄利克雷边界控制问题。在适当的正则性假设下，针对二维凸多边形区域，该方法在最优控制上实现了阶数为 $ O(h^{3/2- u}) $ 的超线性收敛速率，2D与3D数值实验验证了该结论。

ABSTRACT

We begin an investigation of hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) methods for approximating the solution of Dirichlet boundary control problems governed by elliptic PDEs. These problems can involve atypical variational formulations, and often have solutions with low regularity on polyhedral domains. These issues can provide challenges for numerical methods and the associated numerical analysis. We propose an HDG method for a Dirichlet boundary control problem for the Poisson equation, and obtain optimal a priori error estimates for the control. Specifically, under certain assumptions, for a 2D convex polygonal domain we show the control converges at a superlinear rate. We present 2D and 3D numerical experiments to demonstrate our theoretical results.

研究动机与目标

• 解决在多面体区域上具有低正则性解的狄利克雷边界控制问题所面临的数值挑战。
• 克服状态方程中因非标准边界条件而引发的变分公式困难。
• 开发一种高阶、高效的离散化方法，通过减少自由度来保持精度。
• 在现实正则性假设下，建立对控制变量的最优先验误差估计。
• 通过2D与3D数值实验，展示该方法的鲁棒性与收敛行为。

提出的方法

• 通过弱形式将狄利克雷边界控制问题表述为包含状态、伴随状态和通量变量的混合系统。
• 应用混合不连续伽辽金（HDG）方法对状态方程与伴随方程进行离散化，实现基于单元的自由度局部消除。
• 对通量使用Raviart-Thomas型有限元空间，对状态与伴随状态变量使用不连续多项式。
• 通过块矩阵分解构建局部求解器，实现通过静态消去法高效求解全局系统。
• 确保所得线性系统为对称正定，从而支持高效迭代求解器。
• 利用HDG结构，通过数值通量的结构特性与后处理技术，实现对控制变量的超收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 HDG方法能否在具有低正则性解的狄利克雷边界控制问题中实现最优控制的收敛速率？
• RQ2 当应用于具有非标准变分公式的椭圆PDE时，HDG方法是否能保持高精度与高效率？
• RQ3 在标准正则性假设下，2D凸多边形区域中控制变量的收敛速率是多少？
• RQ4 与标准混合有限元方法相比，HDG方法在自由度数量与收敛行为方面表现如何？
• RQ5 HDG框架能否扩展至包含对流主导流或不连续性的更复杂问题？

主要发现

• 在满足 $ y_d otin H^1(ar{ abla}) $ 的2D凸多边形区域中，若满足适当的正则性假设，则最优控制以超线性速率 $ O(h^{3/2- u}) $ 收敛，其中任意 $ u > 0 $。
• 状态与伴随状态以 $ O(h^{3/2- u}) $ 收敛，其通量以 $ O(h^{1- u}) $ 收敛，表明混合变量实现了最优收敛。
• 在3D中，数值实验结果证实了与理论估计一致的收敛速率：状态与伴随状态为 $ O(h^{3/2- u}) $，通量为 $ O(h^{1- u}) $。
• 控制误差在2D中以约 $ O(h^{1.5}) $ 收敛，在3D中以 $ O(h^{1.3}) $ 收敛，趋近于理论上的超线性速率。
• 由于静态消去法的应用，HDG方法显著减少了全局耦合自由度的数量，相比标准混合方法具有优势。
• 局部求解器计算效率高，得益于块对角结构以及小块的可并行求逆，支持可扩展实现。