[论文解读] A surrogate model for computational homogenization of elastostatics at finite strain using the HDMR-based neural network approximator

Vien Minh Nguyen‐Thanh, Lu Trong Khiem Nguyen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Composite Material Mechanics参考文献 29被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种基于高维模型表示（HDMR）启发的神经网络的代理模型，用于有限大位移弹性静力学的多尺度计算均匀化，以近似宏观能量密度。该方法通过FFT-based微观求解生成的数据进行网络训练，实现了高效在线宏观FEM分析，具有高精度，且在带有$40 \times 10$个圆形夹杂物的悬臂梁基准测试中，均匀化解与全场解之间表现出极佳的一致性。

ABSTRACT

We propose a surrogate model for two-scale computational homogenization of elastostatics at finite strains. The macroscopic constitutive law is made numerically available via an explicit formulation of the associated macro-energy density. This energy density is constructed by using a neural network architecture that mimics a high-dimensional model representation. The database for training this network is assembled through solving a set of microscopic boundary values problems with the prescribed macroscopic deformation gradients (input data) and subsequently retrieving the corresponding averaged energies (output data). Therefore, the two-scale computational procedure for the nonlinear elasticity can be broken down into two solvers for microscopic and macroscopic equilibrium equations that work separately in two stages, called the offline and online stages. A standard finite element method is employed to solve the equilibrium equation at the macroscale. As for mircoscopic problems, an FFT-based collocation method is applied in tandem with the Newton-Raphson iteration and the conjugate-gradient method. Particularly, we solve the microscopic equilibrium equation in the Lippmann-Schwinger form without resorting to the reference medium and thus avoid the fixed-point iteration that might require quite strict numerical stability condition in the nonlinear regime.

研究动机与目标

• 开发一种针对有限大位移下非线性弹性静力学的多尺度计算均匀化的快速且精确的代理模型。
• 通过将微观与宏观求解器解耦为离线和在线阶段，克服传统FE²方法计算成本高的问题。
• 利用在FFT求解的微观问题上训练的神经网络，构建可微分的、显式的宏观能量密度近似。
• 在过滤掉微观应力波动的同时，确保对宏观响应的鲁棒性和准确性。
• 在具有圆形夹杂物的复杂微观结构上，通过与全场有限元模拟对比，验证该框架的有效性。

提出的方法

• 通过受高维模型表示（HDMR）启发的神经网络架构近似宏观能量密度，实现高效高维函数逼近。
• 训练数据库通过使用FFT-based配点法求解大量具有预设宏观变形梯度的微观边界值问题（BVPs）生成。
• 在无参考介质的情况下以Lippmann-Schwinger形式求解微观平衡，避免固定点迭代，提升非线性区域的稳定性。
• 在FFT框架中使用牛顿-拉夫森法和共轭梯度法求解非线性微观平衡方程。
• 离线阶段计算并存储一系列变形梯度下的能量响应；在线阶段使用训练好的神经网络快速评估宏观能量及其梯度。
• 宏观问题通过标准FEM求解，代理模型提供有效本构响应，无需重复进行微观求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于FFT求解的微观问题训练的神经网络代理模型，能否在有限大位移弹性静力学中准确近似宏观能量密度？
• RQ2 与标准方法相比，基于HDMR启发的神经网络架构在复杂微观结构上的精度和计算效率如何？
• RQ3 与具有显式微观非均质性的全场解相比，均匀化解在多大程度上能捕捉整体变形和应力趋势？
• RQ4 所提出的框架是否能消除在线宏观分析过程中重复进行微观求解的需求，同时保持精度？
• RQ5 当应用于高相位对比度和复杂夹杂物分布的微观结构时，该代理模型的鲁棒性如何？

主要发现

• 在具有$40 \times 10$个圆形夹杂物的二维悬臂梁中，代理模型在垂直位移分布上与全场有限元解表现出极佳的一致性。
• 尽管均匀化应力场平滑了局部波动，但仍能捕捉全场应力分布的整体趋势，特别是在高、低应力集中区域。
• 代理模型中的法向第二皮奥拉应力$\overline{S}_{11}$在域内呈现平滑过渡，与由于相位对比导致全场解中观察到的振荡行为形成对比。
• 在更刚性的夹杂物内部，全场解中可清晰观察到应力集中现象，而均匀化解则平均化了这些效应，符合预期。
• 即使夹杂物数量增加，该框架仍保持高精度，证实其在具有复杂微观结构的代表性体积元（RVEs）中的可靠性。
• 所提出的方法成功地将多尺度问题解耦为高效的离线和在线阶段，与标准FE²方法相比显著降低了计算成本。