[论文解读] A survey of nearisometries

Jussi Väısälä|ArXiv.org|Jan 11, 2002

Functional Equations Stability Results参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文综述了近等距映射——即在小的加法误差 ε 内近似保持距离的映射——的稳定性，证明了此类映射在巴拿赫空间上可被真等距映射一致逼近，且逼近误差具有线性界。关键结果表明，对于整个空间上的满射 ε-近等距映射，存在一个与之距离不超过 2ε 的线性等距映射，且该界被证明是紧的。

ABSTRACT

Let E and F be Banach spaces, let A be a subset of E, and let s \ge 0. A map f: A -> F is an s-nearisometry if |x-y|-s \le |fx-fy| \le |x-y|+s for all x,y in A. The article gives a survey on the stability problem: How well can an s-nearisometry be approximated by a true isometry? The first result on this problem was given by Hyers and Ulam in 1945 for surjective nearisometries between Hilbert spaces. The present article contains an addendum to the published paper, giving recent results on nearsurjective maps of Banach spaces.

研究动机与目标

• 研究 ε-近等距映射的稳定性：巴拿赫空间上的此类映射是否可被真等距映射一致逼近？
• 确定 ε-近等距映射与线性等距映射之间距离的最佳可能一致界。
• 刻画满足等距逼近性质（IAP）的有界集合，特别是在有限维欧几里得空间中的情形。
• 探讨等距映射的加法与乘法扰动之间的关系，并将 ε-近等距映射与双Lipschitz映射进行比较。
• 建立近似等距映射可获得良好等距逼近的定量几何条件，特别是通过 c-太阳系概念。

提出的方法

• 将 ε-近等距映射定义为满足对所有 x,y ∈ A 有 ||x−y| − |fx−fy|| ≤ ε 的映射 f: A → F。
• 当 f(0)=0 时，通过极限构造 Tx = lim_{t→∞} f(tx)/t 定义候选线性等距映射 T。
• 应用 Mazur-Ulam 定理，证明满射等距映射是仿射的，因此在平移意义下是线性的。
• 利用 Jung 常数 J(E) 来界定直径 ≤2 的集合的覆盖半径，从而细化逼近误差。
• 引入 c-太阳系的概念：具有中心点和满足几何不等式的行星的有界集合，用于刻画具有 c-IAP 的集合。
• 通过欧几里得空间中的定理，利用几何与度量论证，证明 c-IAP 与成为 c′-太阳系之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于巴拿赫空间 E 上的任意 ε-近等距映射 f: E → F，是否存在一个绝对常数 c，使得存在线性等距映射 T 满足 d(T,f) ≤ cε？
• RQ2 在巴拿赫空间上，ε-近等距映射的界 d(T,f) ≤ cε 中，c 的最佳可能值是多少？该界是否紧？
• RQ3 在 ℝⁿ 的哪些有界子集 A 中，每个 ε-近等距映射 f: A → F 都能获得一致的等距逼近？何种几何条件可确保这一点？
• RQ4 ε-近等距映射与双Lipschitz映射之间有何关系？ε-近等距映射是否可被扩展为 ℝⁿ 上具有受控畸变的双Lipschitz映射？
• RQ5 对于所有巴拿赫空间 E，界 d(S,f) ≤ J(E)ε + t 是否紧？在何种条件下可取 t = 0？

主要发现

• 对于任意满足 f(0)=0 的满射 ε-近等距映射 f: E → F，存在一个满射线性等距映射 T: E → F，使得 d(T,f) ≤ 2ε，且该界是紧的。
• 界 d(T,f) ≤ 2ε 是最优的，通过在 ℝ 上的反例可证明：当 x≠0,ε 时 f(x) = x−ε，且 f(0)=f(ε)=−ε，此时对 T 的两种符号选择均有 d(T,f)=2ε。
• 对于任意 ε-近等距映射 f: E → F，存在一个仿射等距映射 S: E → F，使得对任意 t>0 有 d(S,f) ≤ J(E)ε + t，且当 E 满足每个直径 ≤2 的有界集合可被半径为 J(E) 的球覆盖时，该等式在 t→0 时成立。
• 在希尔伯特空间中，界 d(S,f) ≤ 2ε 是紧的，c 空间中同样成立；对于 c₀，存在一个更简单的证明来说明 2ε 的紧性。
• 在 ℝⁿ 中，有界集合 A 具有 c-IAP 当且仅当它是 c′-太阳系，其中 c′-太阳系由一个中心、若干行星及满足特定几何不等式的太阳构成。
• 双Lipschitz延拓定理成立：若 A 满足参数为 c 的加厚条件，则每个 (1+ε)-双Lipschitz 映射 f: A → ℝⁿ（其中 ε ≤ ε₀）可被延拓为一个 (1+c′ε)-双Lipschitz 映射 g: ℝⁿ → ℝⁿ。