[论文解读] A survey of non-uniqueness results for the anisotropic Calder{\'o}n problem with disjoint data

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 8

一句话总结

本文在维度 $n \geq 3$ 的黎曼流形上，针对在边界不相交的狄利克雷与诺伊曼数据条件下，建立了各向异性 Calderón 问题的新非唯一性结果。论文提出了一种在边界不相交子集上测量数据时，狄利克雷-诺伊曼映射的新规范对称性，并通过柱状流形上的度量扭曲积构造了显式反例，表明在固定频率下，存在无穷多个不同的共形度量可产生相同的局部 DN 映射。这些结果在该新规范对称性下成立，揭示了在部分边界数据条件下反问题中唯一性的根本限制。

ABSTRACT

After giving a general introduction to the main known results on the anisotropic Calder{\'o}n problem on n-dimensional compact Riemannian manifolds with boundary, we give a motivated review of some recent non-uniqueness results obtained in [5, 6] for the anisotropic Calder{\'o}n problem at fixed frequency, in dimension n $\ge$ 3, when the Dirichlet and Neumann data are measured on disjoint subsets of the boundary. These non-uniqueness results are of the following nature: given a smooth compact connected Riemannian manifold with boundary (M, g) of dimension n $\ge$ 3, we first show that there exist in the conformal class of g an infinite number of Riemannian metrics gmetrics metrics g such that their corresponding Dirichlet-to-Neumann maps at a fixed frequency coincide when the Dirichlet data $\Gamma$D and Neumann data $\Gamma$N are measured on disjoint sets and satisfy $\Gamma$D $\cup$ $\Gamma$N = $\partial$M. The corresponding conformal factors satisfy a nonlinear elliptic PDE of Yamabe type on (M, g) and arise from a natural but subtle gauge invariance of the Calder{\'o}n when the data are given on disjoint sets. We then present counterexamples to uniqueness in dimension n $\ge$ 3 to the anisotropic Calder{\'o}n problem at fixed frequency with data on disjoint sets, which do not arise from this gauge invariance. They are given by cylindrical Riemannian manifolds with boundary having two ends, equipped with a suitably chosen warped product metric. This survey concludes with some remarks on the case of manifolds with corners.

研究动机与目标

• 解决在狄利克雷与诺伊曼数据测量于边界不相交子集时，各向异性 Calderón 问题中非唯一性的基本挑战。
• 识别并形式化在不相交数据条件下，由一类 Yamabe 型非线性椭圆方程所引出的狄利克雷-诺伊曼映射的新规范对称性。
• 在固定频率下，构造各向异性 Calderón 问题中唯一性失效的显式反例，且该反例独立于新识别出的规范对称性。
• 通过放松边界光滑性假设，将非唯一性结果推广至具有角点的流形，表明即使边界连通，反例依然存在。
• 全面综述近期关于非唯一性结果及其在黎曼流形上反问题中的几何基础。

提出的方法

• 引入紧黎曼流形边界上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的局部狄利克雷-诺伊曼（DN）映射 $\Lambda_{g,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda)$，其中 $\Gamma_D$ 与 $\Gamma_N$ 是 $\partial M$ 的不相交开子集。
• 在保持 $\Gamma_D \cup \Gamma_N$ 不变的微分同胚下，建立局部 DN 映射的新规范对称性，并识别出当 $n \geq 3$ 时，由共形因子的非线性 Yamabe 型 PDE 所导出的共形规范对称性。
• 通过在柱状流形 $M = [0,1] \times K$ 上配备扭曲积度量 $g = dt^2 + a(t)^2 g_K$ 的方式构造反例，其中 $a(t)$ 为光滑正函数。
• 利用 $K$ 上拉普拉斯算子的谱分解中的变量分离方法，将问题约化为由 $-\Delta_K$ 的狄利克雷谱参数化的单变量边界值问题族。
• 应用上下解法，证明非线性狄利克雷问题 $\Delta_g w + (\lambda - V)w - \lambda w^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 在 $M$ 上存在光滑正解，且在 $\partial M$ 上满足 $w = \eta$，其中 $\eta = 1$ 在 $\Gamma_D \cup \Gamma_N$ 上。
• 证明不同的共形因子 $c$ 与 $\tilde{c}$，对应于不同的势能 $V$ 与 $\tilde{V}$，可产生相同的局部 DN 映射 $\Lambda_{c^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda) = \Lambda_{\tilde{c}^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$，从而证明在新规范对称性下存在非唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧黎曼流形上，当 $\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset$ 时，局部狄利克雷-诺伊曼映射 $\Lambda_{g,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda)$ 是否在固定频率 $\lambda$ 下唯一确定度量 $g$？
• RQ2 当数据在边界不相交子集上测量时，各向异性 Calderón 问题的非唯一性背后的几何或分析结构是什么？
• RQ3 在不相交数据情况下，非唯一性是否可独立于标准的微分同胚与共形规范对称性而出现？
• RQ4 当边界连通但流形不光滑（如具有角点）时，非唯一性结果如何推广？
• RQ5 能否通过柱状流形上扭曲积度量构造显式反例，使得不同的共形因子产生相同的局部 DN 映射？

主要发现

• 在柱状流形 $M = [0,1] \times K$ 上，存在无穷多个共形度量 $\tilde{g} = c^4 g$（$n \geq 3$），使得对不相交的 $\Gamma_D, \Gamma_N \subset \partial M$，有 $\Lambda_{\tilde{g}, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda) = \Lambda_{g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$，即使 $\tilde{g} \neq g$。
• 非唯一性源于与共形因子相关的非线性 Yamabe 型 PDE 所诱导的新规范对称性，该对称性无法仅通过标准的微分同胚或共形不变性捕捉。
• 存在不通过新规范对称性关联的唯一性反例：不同的共形因子 $c$ 与 $\tilde{c}$ 可产生相同的局部 DN 映射 $\Lambda_{c^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$，但对应于不同的势能 $V = V_{g,c,\lambda}$ 与 $\tilde{V} = V_{g,\tilde{c},\lambda}$。
• 在具有角点的流形上，非唯一性依然存在：即使边界 $\partial M$ 连通（例如 $M = [0,1] \times K$ 且 $K$ 有边界），对于不相交数据的局部 DN 映射，唯一性反例依然存在。
• 在适当条件下，通过上下解法证明了非线性狄利克雷问题 $\Delta_g w + (\lambda - V)w - \lambda w^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 存在光滑正解，适用于 $\lambda = 0$、$\lambda > 0$ 与 $\lambda < 0$，且对 $V$ 与边界数据 $\eta$ 有合理假设。