[论文解读] A Survey of Shortest-Path Algorithms

Loutfy H. Madkour, Walid G. Aref+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 116被引用 34

一句话总结

本文提出了一种最短路径算法的全面分类体系，按图类型（静态/动态）、解类型（精确/近似）以及问题变体（SSSP、APSP、时间相关、随机等）进行分类。它综述了最先进的算法，突出展示了性能与预处理之间的权衡，并提供了一个结构化的指南，以根据应用特定约束选择最优算法。

ABSTRACT

A shortest-path algorithm finds a path containing the minimal cost between two vertices in a graph. A plethora of shortest-path algorithms is studied in the literature that span across multiple disciplines. This paper presents a survey of shortest-path algorithms based on a taxonomy that is introduced in the paper. One dimension of this taxonomy is the various flavors of the shortest-path problem. There is no one general algorithm that is capable of solving all variants of the shortest-path problem due to the space and time complexities associated with each algorithm. Other important dimensions of the taxonomy include whether the shortest-path algorithm operates over a static or a dynamic graph, whether the shortest-path algorithm produces exact or approximate answers, and whether the objective of the shortest-path algorithm is to achieve time-dependence or is to only be goal directed. This survey studies and classifies shortest-path algorithms according to the proposed taxonomy. The survey also presents the challenges and proposed solutions associated with each category in the taxonomy.

研究动机与目标

• 为多样化的最短路径算法领域缺乏统一分类系统的问题提供解决方案。
• 识别并基于图动态性、解精度和问题目标对最短路径问题的关键变体进行分类。
• 通过将应用需求映射到算法类别，为研究人员和实践者提供选择合适算法的指导。
• 总结最先进解决方案及其在各类别中时间、空间和预处理复杂度方面的权衡。
• 突出显示在动态、随机、参数化和目标导向最短路径计算中的开放挑战与研究方向。

提出的方法

• 提出一个多维分类体系，包含静态与动态图、精确与近似解，以及替换路径、备选路径等特定问题变体的分支。
• 将算法划分为核心类别：单源（SSSP）、全源（APSP）、目标导向、距离查询器、时间相关、随机、参数化以及加权区域问题。
• 分析预处理策略，通过牺牲存储和预计算成本来降低查询时间，尤其在静态和距离查询器设置中。
• 回顾支持边插入、删除和权重更新的动态图算法，包括完全动态和部分动态变体。
• 研究针对约束路径问题的专用算法，如替换路径（避开特定边）和备选路径（避开未预先指定的顶点或边）。
• 评估近似算法（如路径网和张量）通过牺牲解的精度来换取速度，尤其适用于平面图和空间图。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地对大量最短路径算法进行分类，以提升其在特定应用中的可发现性与选择效率？
• RQ2 在静态和动态最短路径算法中，预处理时间、存储空间和查询时间之间的关键权衡是什么？
• RQ3 在何种场景下近似算法优于精确算法？它们在解质量方面提供了何种保证？
• RQ4 在动态或受限环境中，替换路径与备选路径算法在设计和性能上如何不同？
• RQ5 在空间和平面剖分（如加权区域问题）中，最短路径问题的计算挑战和最先进解决方案是什么？

主要发现

• 该分类体系通过图类型（静态与动态）、解类型（精确与近似）以及问题变体（SSSP、APSP、时间相关等）实现了对最短路径算法的系统化导航。
• Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法等静态算法仍是基础，但距离查询器和预处理技术可显著降低查询时间，代价是存储开销。
• 替换路径算法可在近乎线性时间内计算：加权平面图的预处理时间为 $O(n \text{log}^3 n)$，查询时间为 $O(h \text{log} \text{log} n)$。
• 蒙特卡洛随机算法在无权图中实现 $\tilde{O}(m\tilde{\text{log}}\tilde{n})$ 时间复杂度，相比先前界限提升了 $\tilde{\text{log}}\tilde{n}$ 倍。
• 近似 $(1+\tilde{\text{epsilon}})$ 替换路径算法的运行时间为 $\tilde{O}(m \text{log}(nC/c)/\tilde{\text{epsilon}})$，为大规模图提供了可扩展解法。
• 对于加权区域问题，路径网构建在 $O(kn^3)$ 时间内实现 $(1+\tilde{\text{epsilon}})$-近似解，使用 $O(kn)$ 个顶点，并利用斯涅尔定律实现路径折射。