[论文解读] A survey of topological work at CEOL

Homeira Pajoohesh, Michel Schellekens|ArXiv.org|Dec 31, 2004

Algorithms and Data Compression参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于次赋值和部分度量的拓扑框架，以形式化地关联决策树中算法的平衡性与运行时间，证明更平衡的分治算法（如归并排序）通过定量域理论对树结构建模，可在平均情况下实现更快的性能。

ABSTRACT

We present an overview of ongoing work at the Centre for Efficiency-Oriented languages (CEOL), with a focus on topological aspects. CEOL researchers are engaged in designing a new Real-Time Language to improve software timing. The centre broadly focuses on bridging Semantics and Complexity and unites researchers with expertise in Semantics of Programming Languages, Real-Time Languages, Compiler Design and Graph Based Algorithms. CEOL aims to narrow the gap between Worst Case Execution Time analysis and Average Case Execution Time analysis for Real-Time languages and its longer term goal is the development of ACETT, an Average Case Execution Time Tool. This research work is of crucial interest to industry, given that real-time software is widely used in a variety of applications, such as chemical plants, satellite communications, the space industry, telephone exchanges, medical equipment, the motor industry, etc. Topological work at CEOL focuses on the exploration of quantitative Domains, semivaluations, partial metrics and their applications. We give an overview of prior results obtained at CEOL in this area and of current work on relating the notion of balance of algorithms to running time and of an exploration of semivaluations in relation to algorithmic running time.

研究动机与目标

• 使用拓扑与序理论结构形式化算法平衡性与效率之间的直观联系。
• 通过定量域理论弥合实时系统中最好情况与平均情况执行时间分析之间的差距。
• 基于次赋值与部分度量在决策树上建立分析算法复杂性的拓扑基础。
• 通过p度量诱导的拓扑刻画树结构（如平衡性）与运行时间之间的关系。
• 将不平衡格应用于决策树的路径长度序列，将结构平衡性与算法速度联系起来。

提出的方法

• 使用次赋值作为在半格上赋值的统一推广，将传统域理论扩展至定量设置。
• 应用由次赋值导出的部分度量（p度量）来建模决策树中的距离，其中自距离反映计算成本。
• 通过 p(x,y) = f(x) - f(x∨y) 定义 p度量，将函数 f 与算法成本关联，实现对树结构的拓扑分析。
• 将决策树建模为带有反向层级函数的格，其中最大叶权重对应最坏情况时间，平均值对应平均情况时间。
• 将不平衡格应用于比较树的平衡性，通过不平衡和的定义定义 x ≤ y 表示 x 比 y 更平衡。
• 在不平衡格上使用最短路径度量，定义树结构上的 p度量，实现对算法效率的拓扑比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用部分度量和次赋值等拓扑结构来形式化分析算法运行时间？
• RQ2 决策树的平衡性与对应算法的平均情况运行时间之间存在何种关系？
• RQ3 不平衡格能否用于形式化比较分治算法（如归并排序与插入排序）的效率？
• RQ4 次赋值与p度量如何提供统一框架以建模最坏情况与平均情况执行时间？
• RQ5 决策树的哪些拓扑性质对应算法效率，以及如何对它们进行刻画？

主要发现

• 次赋值将赋值推广至半格，为定量域理论提供最小基础，使算法成本建模成为可能。
• 可从结合赋值 f 导出部分度量 p(x,y) = f(x) - f(x∨y)，在决策树上建立拓扑结构。
• 决策树中最大叶权重对应最坏情况运行时间，平均叶权重对应平均情况运行时间。
• 不平衡格构成一个完全格，其中 x ≤ y 表示 x 比 y 更平衡，为算法平衡性比较提供形式基础。
• 通过在不平衡格中将归并排序建模为插入排序的更平衡变体，形式化证明归并排序比插入排序更快。
• 不平衡格上的Lawson拓扑是离散的，表明平衡与非平衡树之间的拓扑差异是稳健且有意义的。