[论文解读] A Survey on Graph Problems Parameterized Above and Below Guaranteed Values

Gregory Gutin, Matthias Mnich|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本综述全面概述了参数化于紧密下界或上界之上的图问题，重点关注 Max Cut、Vertex Cover 和 TSP 等问题的固定参数可满足性与核化。研究结果表明，当问题在紧密下界或上界之上进行参数化时，许多此类问题均可获得高效算法，关键成果包括多项式核与 FPT 算法，同时在有向图与超图设置中也指出了开放性问题。

ABSTRACT

We survey the field of algorithms and complexity for graph problems parameterized above or below guaranteed values, a research area which was pioneered by Venkatesh Raman. Those problems seek, for a given graph $G$, a solution whose value is at least $g(G)+k$ or at most $g(G)-k$, where $g(G)$ is a guarantee on the value that any solution on $G$ takes. The goal is to design algorithms which find such solution in time whose complexity in $k$ is decoupled from that in the guarantee, or to rule out the existence of such algorithms by means of intractability results. We discuss a large number of algorithms and intractability results, and complement them by several open problems.

研究动机与目标

• 系统化并综述图问题在紧密界之上或之下进行参数化时的参数化算法研究现状。
• 识别并分析此类问题的固定参数可满足性（FPT）算法与核化结果。
• 突出显示开放性问题与研究空白，尤其关注有向图与超图。
• 为参数复杂性与图算法领域的研究人员提供统一参考。
• 通过聚焦于图问题的最新进展，特别是加法与乘法参数化，扩展先前的综述。

提出的方法

• 本文综述了现有算法与图问题在紧密边界之上或之下的复杂性结果，采用加法与乘法参数化方法。
• 应用参数复杂性中的技术，包括核化与 FPT 算法，分析 Max Cut 与 Vertex Cover 等问题。
• 对于 Longest Cycle 等问题，使用图的围长与平均度作为保证，并分析在这些边界之上的参数复杂性。
• 利用已知的极值图论结果（例如 Edwards-Erdős 不等式、Erdős-Gallai 不等式）作为参数化的紧密界。
• 证明了新结果，例如针对围长之上乘法参数化的 Long Cycle 问题，存在 $2^{\mathcal{O}(k^2)}n$ 时间算法，并在标准复杂性假设下证明了核不存在性。
• 通过使用平均边权作为保证，将结果扩展至 TSP，证明了在低于平均权重 $k$ 的情况下寻找哈密顿圈的固定参数算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数化于 Edwards-Erdős 不等式之上时，Max Cut 是否可在 FPT 时间内求解？
• RQ2 当参数化于图的围长之上以乘法方式时，Long Cycle 是否具有固定参数可满足性？
• RQ3 旅行商问题是否在寻找低于平均权重 $k$ 的哈密顿圈时，存在固定参数算法？
• RQ4 图问题的参数化复杂性能否扩展至有向图，特别是针对环与 TSP 问题？
• RQ5 寻找长度至少为 $\gamma(G)\log\gamma(G)$ 的环的复杂性是多少，其中 $\gamma(G)$ 为围长？

主要发现

• 在乘法方式下参数化于围长之上的 Long Cycle 问题，可在 $2^{\mathcal{O}(k^2)}n$ 时间内求解，从而建立了 FPT 算法。
• 同一问题在除非 NP ⊆ coNP/poly 的情况下不具有多项式核，表明其固有复杂性。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，当参数化于 $\gamma(G)^{1+\varepsilon}$ 之上时，问题变为 para-NP-难，表明该边界的紧致性。
• 在 2-连通图中，存在一个 $2^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ 时间算法，用于寻找长度为 $g(G)+k$ 的环，其中 $g(G)$ 为 Erdős-Gallai 边界。
• 存在一个固定参数算法用于 TSP，可在 $\mathcal{O}(k^3)! + \mathcal{O}(k^3n) + \mathcal{O}(n^7)$ 时间内找到低于平均权重 $k$ 的哈密顿圈。
• 该综述识别出若干开放性问题，包括有向图中 Longest Cycle 在围长之上的固定参数可满足性，以及有向图中 TSP 在平均权重之下的固定参数可满足性。