[论文解读] A survey on Hamilton cycles in directed graphs

Daniela Kühn, Deryk Osthus|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 42被引用 9

一句话总结

本综述总结了有向图、有向图和竞赛图中哈密顿圈存在性定理的最新进展，关键结果表明：每个正则竞赛图的边均可被几乎边不相交的哈密顿圈覆盖。该证明利用了鲁棒扩张的概念，并将Ghouila-Houri和Meyniel的结果推广，以建立近似哈密顿分解。

ABSTRACT

We survey some recent results on long-standing conjectures regarding Hamilton cycles in directed graphs, oriented graphs and tournaments. We also combine some of these to prove the following approximate result towards Kelly's conjecture on Hamilton decompositions of regular tournaments: the edges of every regular tournament can be covered by a set of Hamilton cycles which are `almost' edge-disjoint. We also highlight the role that the notion of `robust expansion' plays in several of the proofs. New and old open problems are discussed.

研究动机与目标

• 综述关于有向图、有向图和竞赛图中哈密顿圈的长期猜想的最新进展。
• 研究鲁棒扩张在证明有向图中哈密顿性结果中的作用。
• 为正则竞赛图的哈密顿分解问题提供近似解。
• 将Ghouila-Houri和Meyniel等经典定理推广到具有改进度条件和连通性条件的有向图设定中。
• 探索正则有向图和竞赛图中哈密顿圈的边覆盖性质，目标是实现近乎边不相交的分解。

提出的方法

• 利用鲁棒扩张作为结构工具，证明稠密有向图中的哈密顿性，特别是在正则竞赛图中。
• 应用定理17，在正则竞赛图中寻找大量边不相交的哈密顿圈。
• 从未被覆盖的边中构造剩余图F，并使用Vizing定理和迭代分割将其分解为若干小匹配。
• 对每个小匹配M，将M中的边收缩形成新有向图D，同时保持鲁棒扩张性和最小半度。
• 应用定理30（关于鲁棒出扩张图）证明D中存在哈密顿圈，该圈可提升为包含M中所有边的原图中的哈密顿圈。
• 替代方法在经修改的有向图D'（含双向边和有向匹配）上应用Ghouila-Houri定理，以保证包含每个M的哈密顿圈。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则竞赛图的边能否被几乎边不相交的哈密顿圈覆盖？
• RQ2 经典哈密顿性条件（如Dirac、Ghouila-Houri、Meyniel）在度或连通性假设较弱的有向图中，能在多大程度上被推广？
• RQ3 鲁棒扩张概念如何促进稠密有向图中哈密顿圈存在性的证明？
• RQ4 在正则竞赛图或正则有向图中，可保证的最大边不相交哈密顿圈数量是多少？
• RQ5 正则竞赛图中的小匹配能否被扩展为哈密顿圈，其条件是什么？

主要发现

• 对于所有n ≥ n₀个顶点的正则竞赛图，其边可被(1/2 − o(1))n个几乎边不相交的哈密顿圈覆盖。
• 由初始哈密顿圈集合未覆盖的边构成的剩余图F的最大度为O(η₁n)，可分解为O(η₁^{1/2}n)个匹配，每个匹配大小为O(η₁^{1/2}n)。
• 将每个小匹配M收缩为单个顶点后，所得有向图D仍为鲁棒(ν/2, 2τ)-出扩张图，且最小半度至少为(1/2 − o(1))n。
• 定理30保证此类D中存在哈密顿圈，该圈可提升为包含M中所有边的原竞赛图中的哈密顿圈。
• 使用Ghouila-Houri定理的替代证明适用于含双向边和有向匹配的有向图D'，当最小半度≥ n/2时，可保证存在哈密顿圈。
• 该结果为Kelly关于正则竞赛图哈密顿分解的猜想提供了强有力证据，表明此类分解在边覆盖上仅存在微小误差。