[论文解读] A survey on non-autonomous basins in several complex variables

Alberto Abbondandolo, Leandro Arosio+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 6

一句话总结

本综述研究了在复多变量情形下，稳定流形是否总是双全纯微分同构于复欧几里得空间的猜想，尤其关注非自治动力系统。通过分析具有统一收缩界的一系列全纯自同构，作者提出了新结果，表明在某些条件下——如充分高的接触阶数和收缩速率的统一有界性——相关的吸引 basin 与 C^m 双全纯微分同构，支持了更广泛的猜想。

ABSTRACT

Consider a holomorphic automorphism which acts hyperbolically on some invariant compact set. Then for every point in the compact set there exists a stable manifold, which is a complex manifold diffeomorphic to real Euclidean space. If the point is fixed, then the stable manifold is even biholomorphic to complex Euclidean space. In fact, it is known that the stable manifold of a generic point is biholomorphic to Euclidean space, and it has been conjectured that this holds for every point. In this article we survey the history of this problem, addressing both known results and the techniques used to obtain those results. Moreover, we present a list of seemingly simpler open problems and prove several new results, all pointing towards a positive answer to the conjecture discussed above.

研究动机与目标

• 综述非自治全纯动力系统中稳定流形是否双全纯微分同构于复欧几里得空间这一猜想的历史与现状。
• 分析在统一收缩条件下，全纯自同构序列的吸引域之间等价性的条件。
• 通过证明在特定条件（如接触阶数和收缩速率约束）下，吸引域双全纯微分同构于 C^m，提出支持该猜想的新结果。
• 识别并探讨可能导向主猜想解决的较弱开放问题。

提出的方法

• 使用由满足统一收缩界 C‖z‖ ≤ ‖fₙ(z)‖ ≤ D‖z‖ 的全纯自同构序列定义的非自治动力系统，其中 z 属于单位球。
• 通过序列映射 (hₙ) 和 (gₙ) 的坐标变换，将系统共轭到具有线性或下/上三角结构的模型系统。
• 运用仿射递推关系控制高阶项的增长，确保共轭映射的统一有界性。
• 分析映射 fₙ 的接触阶数 k，定义为 fₙ(z) = l(z) + O(‖z‖^k)，以控制动力系统中非线性项。
• 使用交换图确保在使用不同坐标系（下三角与上三角）的不同区间内，共轭关系的一致性。
• 通过迭代逆向构造，利用具有统一有界系数的仿射递推关系，证明有界序列 (hₙ) 和 (gₙ) 的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非自治全纯自同构序列的吸引域双全纯微分同构于 C^m？
• RQ2 是否可利用非自治吸引域方法解决所有双曲系统中稳定流形双全纯微分同构于 C^m 的猜想？
• RQ3 映射 fₙ 的接触阶数 k 在确保双全纯微分同构于 C^m 中起什么作用？
• RQ4 统一收缩界（C 和 D）如何影响有界拟凸函数的存在性，从而影响吸引域的结构？
• RQ5 能否在具有不同主导方向的区间内，统一构造非自治系统与模型系统之间的共轭？

主要发现

• 若序列 (fₙ) 满足统一收缩界 C‖z‖ ≤ ‖fₙ(z)‖ ≤ D‖z‖，且存在某个 k 使得 D^k < C，则其吸引域 Ωₙ 双全纯微分同构于 C^m，前提是接触阶数为 k。
• 对于接触阶数为 k 且满足 D^{k+ε} < C（ε > 0）的序列，其吸引域双全纯微分同构于 C^m，扩展了先前结果。
• 具有线性部分 (aₙz, bₙw) 和接触阶数 k 的有界自同构序列，可通过统一有界的映射 (hₙ) 和 (gₙ) 共轭到模型系统，确保吸引域双全纯微分同构于 C^2。
• 仿射递推关系 αₙ₊₁ = (aₙ / bₙ^k)αₙ + cₙ / bₙ^k 存在唯一有界轨道，确保共轭映射 hₙ 的统一有界性。
• 通过在下三角与上三角形式之间切换，可将共轭构造扩展至具有交替主导方向的区间（|aₙ| ≥ |bₙ| 或 |aₙ| ≤ |bₙ|），同时保持统一有界性。
• 若吸引域中存在非平凡有界拟凸函数，将与双全纯微分同构于 C^m 矛盾，但在此类统一收缩条件下，此类函数不可能存在，从而支持该猜想。