[论文解读] A Survey on Operational State Complexity

Yuan Gao, Nelma Moreira+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Machine Learning and Algorithms参考文献 97被引用 23

一句话总结

本综述全面概述了形式语言中操作性状态复杂度，重点关注正则语言操作（如并、交、连接、星号、反转及其组合）的最坏情况状态复杂度。它整合了各类子正则语言类别的研究成果，并突出显示了关键进展，包括通用见证者（universal witnesses）以及平均情况复杂度和字母表大小依赖性方面的开放问题。

ABSTRACT

Descriptional complexity is the study of the conciseness of the various models representing formal languages. The state complexity of a regular language is the size, measured by the number of states of the smallest, either deterministic or nondeterministic, finite automaton that recognises it. Operational state complexity is the study of the state complexity of operations over languages. In this survey, we review the state complexities of individual regularity preserving language operations on regular and some subregular languages. Then we revisit the state complexities of the combination of individual operations. We also review methods of estimation and approximation of state complexity of more complex combined operations.

研究动机与目标

• 系统性地回顾正则语言操作（单独及组合）的最坏情况状态复杂度结果。
• 分析不同子正则语言类别中确定性与非确定性状态复杂度之间的差距。
• 识别并讨论平均情况复杂度、魔术数（magic numbers）以及字母表大小依赖性方面的开放问题。
• 探讨通用见证者和结构工具（如 DesCo）在组织与验证复杂度结果中的作用。
• 通过识别非确定性状态复杂度和转移复杂度方面的研究方向，为未来研究提供指导。

提出的方法

• 对正则语言和子正则语言类别的操作状态复杂度结果进行调研与分类，包括有限语言、一元语言、无星语言等。
• 利用组合构造和见证语言族分析操作的上下界。
• 使用符号运算软件和高性能计算来验证复杂界限并构造紧致见证。
• 引入并分析“通用见证”概念，即在多种复杂度度量中实现紧致界限的见证。
• 利用基于网络的 DesCo 系统对语言类别和操作之间的复杂度数据进行组织与查询。
• 研究可实现复杂度值的分布以及在状态复杂度中“魔术数”的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于正则语言的并、交、连接等基本操作，其紧致最坏情况状态复杂度界限是什么？
• RQ2 当操作组合时（如并的星号或星号的交），状态复杂度界限如何变化？
• RQ3 在何种条件下，一组语言可作为多个复杂度界限的通用见证？
• RQ4 是否存在某些操作和字母表大小下无法实现的状态复杂度值（即魔术数）？
• RQ5 字母表大小如何影响紧致界限的存在性以及构造通用见证的可能性？

主要发现

• m-状态和n-状态DFA的交集状态复杂度恰好为mn，且对某些语言对而言该界限是紧致的。
• 对于“并的星号”等组合操作，其状态复杂度显著低于各操作复杂度的简单组合。
• 许多操作存在通用见证，可实现多种复杂度度量（包括句法复杂度和原子数）的紧致界限。
• 魔术数（无法实现的状态复杂度值）仅在固定字母表大小下存在，且即使在此情况下也极为罕见。
• 平均情况状态复杂度仍基本未被探索，尽管近期利用解析组合学的研究已开始对正则表达式生成的NFA大小分布进行建模。
• Brzozowski最小化算法的平均情况行为已被分析，为反转复杂度提供了洞见，并可能在操作性状态复杂度中具有潜在应用。