[论文解读] A survey on star edge-coloring of graphs

Hui Lei, Yongtang Shi|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 37被引用 4

一句话总结

本综述全面概述了图的星边染色，将星色数定义为使任意长度为四的路径或环不为双色的边染色所需的最少颜色数。综述整合了关于亚三次图、二分图、平面图及乘积图的关键结果，为完全图和网格图提供了紧致界，并指出了开放问题，包括完全图星色数真实阶的量级。

ABSTRACT

The star chromatic index of a multigraph $G$, denoted $χ'_{st}(G)$, is the minimum number of colors needed to properly color the edges of $G$ such that no path or cycle of length four is bicolored. We survey the results of determining the star chromatic index, present the interesting proofs and techniques, and collect many open problems and conjectures.

研究动机与目标

• 系统化并总结各类图类中星色数的已知结果。
• 呈现并分析用于建立星边染色上下界的关键证明与技术。
• 收集并突出显示开放问题与猜想，特别是关于完全图星色数渐近增长的猜想。
• 探讨星边染色的算法复杂性及列表染色变体。
• 将结果扩展至非标准图族，如Halin图、广义Petersen图及图的乘积。

提出的方法

• 将星边染色定义为一种正常边染色，其中任意长度为四的路径或环不为双色。
• 利用图G的星边染色与线图L(G)的星顶点染色之间的等价性。
• 应用极值组合学与无等差数列集合，推导完全图的上界。
• 采用双重计数技术，建立星色数的下界。
• 将已知的NP完全问题（如立方图的3-边染色）归约，以证明判断星色数≤3的NP完全性。
• 分析特定图族（如网格图、冠图、图的联接）的结构特性，以推导星色数的精确或紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全图K_n的星色数的真实渐近阶量级为何？
• RQ2 χ′_st(K_n) = O(n)，还是其增长更快，如n^{1+o(1)}？
• RQ3 判断图是否可使用至多k种颜色进行星边染色的计算复杂性如何？
• RQ4 星色数在亚三次图、二分图、平面图及乘积图等特殊图族中表现如何？
• RQ5 一般图的星边染色列表版本能否被刻画或界定？

主要发现

• 对于完全图K_n，星色数满足 2n(1+o(1)) ≤ χ′_st(K_n) ≤ n · 2^{2√2(1+o(1))√log n} / (log n)^{1/4}，其中上界通过无等差数列集合推导得出。
• 对于最大度Δ的任意图G，χ′_st(G) ≤ Δ · 2^{O(1)√log Δ}，这是目前已知的最佳一般上界。
• 即使当Δ(G) = 3，判断χ′_st(G) ≤ 3 对于任意图G也是NP完全的。
• 对于环的笛卡尔积C_m □ C_n，χ′_st(C_m □ C_n) 为6或7，具体条件已给出；推测当m,n较大时，星色数为6。
• 对于冠图积P_m ◦ P_n，有χ′_st(P_m ◦ P_n) = n+2（当m ≥ 3时），并对其他冠图积建立了类似的确切值。
• 对于图联接P_n ◦ P_2，当n ≥ 3且为奇数时，χ′_st(P_n ◦ P_2) = (3n-1)/2 + 4；当n ≥ 4且为偶数时，χ′_st(P_n ◦ P_2) = (3n)/2 + 3；且χ′_st(P_3 ◦ P_3) = 10。