[论文解读] A Survey on the Complemented Subspace Problem

Mohammad Sal Moslehian|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2005

Advanced Banach Space Theory参考文献 35被引用 6

一句话总结

本综述全面概述了巴拿赫空间理论中的补子空间问题，追溯其历史发展、关键结果及未解问题。文章研究了闭子空间通过有界投影实现补子空间的条件，重点介绍了在经典空间如 $\ell_p$、$c_0$、$\ell^\infty$ 和 $L_p$ 中补子空间的重要定理，并讨论了压缩补子空间、素空间和 $L_1$-对偶等概念。

ABSTRACT

The complemented subspace problem asks, in general, which closed subspaces $M$ of a Banach space $X$ are complemented; i.e. there exists a closed subspace $N$ of $X$ such that $X=M\oplus N$? This problem is in the heart of the theory of Banach spaces and plays a key role in the development of the Banach space theory. Our aim is to investigate some results on complemented subspaces, to give a history of the subject, and to present some open problems.

研究动机与目标

• 综述巴拿赫空间理论中补子空间问题的历史发展与当前状态。
• 呈现关于 $\ell_p$、$c_0$、$\ell^\infty$ 和 $L_p$ 等经典序列空间与函数空间中补子空间的基础性结果。
• 探讨投影、Schauder基与对偶性在确定补子空间性中的作用。
• 识别并讨论该领域中的开放问题，包括 $C(S)$、$L_1$-对偶空间以及具有无条件基的空间中补子空间的问题。
• 探索补子空间、内射性与冯·诺伊曼代数及 $L_1$-空间中结构之间的联系。

提出的方法

• 使用泛函分析工具（包括有界投影与商映射）系统性回顾关于补子空间的古典与现代结果。
• 应用闭图像定理，建立闭子空间中代数补子空间与拓扑补子空间之间的等价性。
• 利用对偶性与伴随算子分析弱补子空间与压缩补子空间。
• 通过 Metafune、Moscatelli、Ostraskii 和 Chigogidze 的结果，分析积与和空间中补子空间的性质。
• 通过补子空间的视角研究素巴拿赫空间：若一个空间的每个无限维补子空间都同构于其自身，则该空间为素空间。
• 利用等距与同构嵌入研究 $L_1$-对偶空间与 $C(S)$ 空间中的补子空间，包括 Zippin 和 Lindenstrauss 的定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 巴拿赫空间的哪些闭子空间是补子空间，即存在有界投影使其成为像？
• RQ2 所有无限维补子空间是否都同构于 $\ell_p$（$1 \leq p < \infty$）？
• RQ3 所有 $L_p$ 空间（$1 < p < \infty$，$p \neq 2$）的补子空间是否同构于 $\ell_p$、$\ell_2$、$\ell_p \oplus \ell_2$ 或 $L_p$？
• RQ4 具有无条件基的空间的每个补子空间是否都继承无条件基？
• RQ5 每个在所有包含空间中都是补子空间的巴拿赫空间是否同构于某个 Stone 空间 $S$ 的 $C(S)$？

主要发现

• 每个 $\ell_1$ 的无限维补子空间都同构于 $\ell_1$，此结论由 Pelczynski 于 1960 年证明。
• 每个 $\ell^\infty$ 的无限维补子空间都同构于 $\ell^\infty$，此结果由 Lindenstrauss 于 1967 年得出。
• 对于 $1 < p < \infty$，$p \neq 2$，$L_p$ 中存在不可数多个非同构的补子空间，此结论由 Bourgain、Rosenthal 和 Schechtman 于 1981 年证明。
• 每个可分的无限维 $L_1$-对偶空间都包含一个同构于 $c_0$ 的压缩补子空间，此结论由 Zippin 于 1969 年建立。
• 若 $X$ 的闭子空间 $M$ 满足其正交补 $M^\circ$ 是 $X^*$ 上有界投影的像，则称 $M$ 为弱补子空间，且每个补子空间都是弱补子空间。
• 若 $X$ 是自反的，或由弱紧集生成，则 $X$ 的每个闭子空间都是 $X$ 中的补子空间，此结论由 Lindenstrauss 于 1969 年证明。