[论文解读] A Symplectic Hamiltonian Derivation of Quasilocal Energy-Momentum for GR

Chiang-Mei Chen, James M. Nester|ArXiv.org|Jan 27, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过包含边界项的辛几何哈密顿方法推导广义相对论中的拟局部能量-动量，表明仅有两种协变表达式——分别对应狄利克雷和诺伊曼边界条件——自然出现。该研究将爱因斯坦与莫勒尔赝张量识别为物理上有动机的表达式，但揭示了其局限性，同时推导出一个完全协变的哈密顿量，其辛结构表现良好，并在特定条件下与已知结果（如卡茨的表达式）一致。

ABSTRACT

The various roles of boundary terms in the gravitational Lagrangian and Hamiltonian are explored. A symplectic Hamiltonian-boundary-term approach is ideally suited for a large class of quasilocal energy-momentum expressions for general relativity. This approach provides a physical interpretation for many of the well-known gravitational energy-momentum expressions including all of the pseudotensors, associating each with unique boundary conditions. From this perspective we find that the pseudotensors of Einstein and Møller (which is closely related to Komar's superpotential) are especially natural, but the latter has certain shortcomings. Among the infinite possibilities, we found that there are really only two Hamiltonian-boundary-term quasilocal expressions which correspond to {\em covariant} boundary conditions; they are respectively of the Dirichlet or Neumann type. Our Dirichlet expression coincides with the expression recently obtained by Katz and coworkers using Noether arguments and a fixed background. A modification of their argument yields our Neumann expression.

研究动机与目标

• 解决广义相对论中拟局部引力能量-动量定义长期存在的歧义问题。
• 通过将其与特定边界条件关联，识别出物理上有意义的拟局部能量-动量表达式。
• 证明在广义相对论中仅存在两种完全协变的拟局部表达式，分别对应狄利克雷和诺伊曼边界条件。
• 统一基于赝张量的方法与哈密顿-边界项框架，提供物理解释并减少任意性。
• 推导出包含边界项的完全协变哈密顿量，其辛结构表现良好，并在适当极限下与已知结果一致。

提出的方法

• 使用辛几何哈密顿形式，本文推导了有限时空区域的哈密顿量，其中包含决定拟局部能量-动量的表面项。
• 表明哈密顿量变分中的边界项控制相关边界条件，从而将能量-动量表达式与几何上的物理约束联系起来。
• 该方法通过正交基（坐标基）表述应用于广义相对论，相较于微分形式方法更具可及性，便于更广泛的受众理解。
• 通过分析哈密顿量的变分，本文识别出两种不同的边界条件——狄利克雷与诺伊曼——分别产生完全协变的拟局部表达式。
• 该方法在边界上引入参考构型，使与现有表达式（如卡茨与科马尔的表达式）的比较成为可能。
• 推导使用希尔伯特拉格朗日量，并通过用改进的边界项替代科马尔超势能，构建完全协变的哈密顿量密度，以确保渐近行为良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论中，哪些拟局部能量-动量表达式具有物理意义并对应于明确定义的边界条件？
• RQ2 为何爱因斯坦与莫勒尔的赝张量在此框架中自然出现？它们的局限性是什么？
• RQ3 能否推导出一种完全协变的拟局部能量-动量表达式，以避免赝张量的歧义？
• RQ4 边界条件——特别是狄利克雷与诺伊曼类型——在决定拟局部能量-动量形式中起什么作用？
• RQ5 辛几何哈密顿方法如何统一不同引力能量方法，如诺特定理与背景依赖方法？

主要发现

• 在广义相对论中，仅存在两种完全协变的拟局部能量-动量表达式，分别对应狄利克雷与诺伊曼边界条件。
• 本文推导的狄利克雷表达式与卡茨及其同事使用诺特定理与固定背景推导出的拟局部能量-动量表达式完全一致。
• 诺伊曼表达式作为卡茨论证的修正形式被推导出，表明在哈密顿-边界项框架下，不同方法之间具有一致性。
• 莫勒尔赝张量在此框架中自然出现，但其缺陷超出了其他赝张量的局限性。
• 改进的边界项取代了科马尔超势能，确保哈密顿量变分在空间与类光无穷远处产生表现良好的、完全协变的辛结构。
• 最终的哈密顿量密度与边界项均为完全4-协变的，当位移向量为常量时，退化为标准表达式（17）、（18）、（36）与（38）。