[论文解读] A symplectic slice theorem

Juan‐Pablo Ortega, Tudor S. Raţiu|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文为在辛流形上具有典型恰当李群作用的辛切片定理提供了新形式，无需全局动量映射。取而代之，它使用 Chu 映射——一个由辛形式导出的、始终存在的 2-上循环——来构造轨道周围的管状模型，从而实现辛结构与哈密顿向量场的正规形式。关键贡献在于提出了一项局部哈密顿行为（即管状哈密顿作用）的充分条件，该条件由来自 Chu 映射的 g*-值 1-形式的恰当性所刻画。

ABSTRACT

We provide a model for an open invariant neighborhood of any orbit in a symplectic manifold endowed with a canonical proper symmetry. Our results generalize the constructions of Marle and Guillemin and Sternberg for canonical symmetries that have an associated momentum map. In these papers the momentum map played a crucial role in the construction of the tubular model. The present work shows that in the construction of the tubular model it can be used the so called Chu map instead, which exists for any canonical action, unlike the momentum map. Hamilton's equations for any invariant Hamiltonian function take on a particularly simple form in these tubular variables. As an application we will find situations, that we will call tubewise Hamiltonian, in which the existence of a standard momentum map in invariant neighborhoods is guaranteed.

研究动机与目标

• 通过用 Chu 映射替代动量映射，将辛切片定理推广至非哈密顿作用的情形。
• 为典型恰当群作用在轨道附近的辛结构提供正规形式。
• 在管状坐标下推导哈密顿向量场的重构方程。
• 确定典型作用在何种条件下为管状哈密顿作用，即在 G-不变邻域内存在局部动量映射。

提出的方法

• 将辛法空间 Vm 构造为轨道切空间的正交补的商空间。
• 通过 Ψ(m)(ξ,η) = ω(m)(ξM(m), ηM(m)) 定义 Chu 映射 Ψ: M → Z²(g)，该映射对典型作用始终有定义。
• 引入子代数 k ⊂ g，其中 k = {η ∈ g | ηM(m) ∈ (g·m)ω}，以确保与辛结构的相容性。
• 利用稳定子群 H、辛法空间 Vm 和限制动量映射，构建局部模型 Yr = G ×H (m*r × (Vm)r)。
• 以管状坐标表示 G-不变哈密顿向量场的重构方程。
• 将 g*-值 1-形式 γ 的恰当性确立为局部模型中标准动量映射存在的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为典型恰当群作用构造一个不依赖全局动量映射的辛切片定理？
• RQ2 Chu 映射如何替代动量映射，以构建辛群作用的管状模型？
• RQ3 在何种条件下，典型作用在 G-不变邻域内具有局部动量映射（即管状哈密顿作用）？
• RQ4 g*-值 1-形式 γ 在决定局部模型中标准动量映射存在性方面起什么作用？
• RQ5 在由辛切片定理定义的管状坐标下，哈密顿向量场的重构方程如何简化？

主要发现

• Chu 映射提供了一个典型且始终存在的 2-上循环，可在典型恰当作用的辛切片定理构造中替代动量映射。
• 辛法空间 Vm 是一个带有诱导形式 ωVm 的辛向量空间，并带有与之关联的 H-作用及相应的动量映射 JVm。
• 由 k = {η ∈ g | ηM(m) ∈ (g·m)ω} 定义的子代数 k ⊂ g 关于李括积封闭，确保了结构的一致性。
• 在管状坐标下，哈密顿向量场的重构方程具有特别简洁的形式，推广了已知的丛方程。
• 当且仅当由 ⟨γ(g)·TeLg·η,ξ⟩ = −ω(m)(Adg−1ξM(m), ηM(m)) 定义的 g*-值 1-形式 γ 恰当时，G-作用在 m 处为管状哈密顿作用。
• 若 H¹(G) = 0 或轨道 G·m 为余切的，则 G-作用在 m 处为管状哈密顿作用，因为恰当性条件自然满足。