[论文解读] A systematic construction of finite element commuting exact sequences

Bernardo Cockburn, Guosheng Fu|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种系统化方法，用于在1D、2D和3D的一般多面体网格单元上构建有限元交换精确序列，确保混合有限元方法的稳定性。通过利用多项式形状函数并采用逐维递归构造，该方法重新发现了标准单元的已知序列，并揭示了针对多边形、棱柱和锥体的新族序列，在某些情况下实现了显著的维数降低——尤其与以往基于有理函数的方法相比，对锥体单元的维数降低尤为显著。

ABSTRACT

We present a systematic construction of finite element exact sequences with a commuting diagram for the de Rham complex in one-, two- and three-space dimensions. We apply the construction in two-space dimensions to rediscover two families of exact sequences for triangles and three for squares, and to uncover one new family of exact sequence for squares and two new families of exact sequences for general polygonal elements. We apply the construction in three-space dimensions to rediscover two families of exact sequences for tetrahedra, three for cubes, and one for prisms; and to uncover four new families of exact sequences for pyramids, three for prisms, and one for cubes.

研究动机与目标

• 开发一种适用于1D、2D和3D任意多面体网格单元的有限元空间交换精确序列的通用、系统化框架。
• 通过从单一一致方法推导，统一并扩展对标准单元（如单纯形、立方体、棱柱和锥体）的现有构造。
• 识别并构建针对一般多边形和多面体单元的新族精确序列，包括此前未知的正方形、棱柱和锥体族序列。
• 在高阶序列中实现显著的维数降低，特别是与现有基于有理函数的构造相比，对锥体单元的维数降低尤为突出。
• 提供一种实用且可构造的替代方案，以替代虚拟元方法（VEM）和有限元系统（FES），避免求解偏微分方程，并实现显式、可计算的基函数。

提出的方法

• 从1D开始，逐维递归构造精确序列，依次扩展至2D多边形单元，再扩展至3D多面体单元，确保在de Rham复形中保持连续性和交换性。
• 在参考单元上使用张量积和分层构造的多项式形状函数来定义有限元空间，精确控制自由度和多项式次数。
• 通过维数计数和核分析（例如，证明 ker(∇×) ⊂ ∇H）来验证序列的精确性，特别通过多变量多项式空间的分解。
• 将该方法应用于标准参考单元（如单纯形、立方体、棱柱、锥体），以恢复已知序列，并应用于一般单元以发现新序列。
• 利用张量积和混合多项式空间（如 P_k|k, P_k|k+1, RT_k）构建de Rham复形中不同微分形式之间的相容空间。
• 通过显式多项式分析和系数匹配，证明插值算子与梯度、旋度和散度算子的交换性，从而验证交换图性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为多维任意多面体网格单元开发一种统一且系统化的有限元交换精确序列构造方法？
• RQ2 使用该系统化方法，能否恢复已知的有限元序列族（如单纯形、立方体、棱柱）？
• RQ3 对于一般多边形和多面体单元，是否存在此前未被发现的新族精确序列？
• RQ4 与现有构造相比，所生成的有限元空间的维数如何，特别是对于锥体等复杂单元？
• RQ5 该方法能否以实用且可构造的方式生成最小相容有限元系统（mcFES），避免依赖隐式PDE基函数？

主要发现

• 该方法成功恢复了2D中三角形单元的两个序列族和正方形的三个序列族，并发现了正方形的一个新族序列以及一般多边形单元的两个新族序列。
• 在3D中，该构造重新发现了单纯形的两个序列族、立方体的三个序列族和棱柱的一个序列族，并发现了锥体的四个新族序列、棱柱的三个新族序列以及立方体的一个新族序列。
• 对于锥形单元，新构造相比[22,23]中基于有理函数的序列实现了显著的维数降低，从而构建出更高效且实用的有限元空间。
• 通过多项式分解和系数分析，严格证明了序列的精确性：向量值空间上旋度算子的核恰好等于标量空间上梯度算子的像。
• 显式推导并验证了序列中各空间的维数公式，例如2D序列 S_{6,k}^{2d} 中 dim H₃ = 3(k+1)(k+2)(k+3)/2 的精确计数。
• 该构造提供了一种实用且显式的最小相容有限元系统（mcFES）构建方法，无需求解PDE或复杂的调和形式子系统，为现有FES和VEM框架提供了一种可构造的替代方案。