[论文解读] A tangent bundle on diffeological spaces

Carlos A. Torre|ArXiv.org|Jan 11, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文为一类特定的微分同胚空间子范畴引入了切丛构造，该子范畴包含光滑流形、微分同胚群及其余伴随轨道。通过定义行为良好的切丛、向量场和德拉姆上同调，作者将微分几何结构从流形推广至更广泛的微分同胚框架，为广义光滑空间上的微积分提供了基础。

ABSTRACT

We define a subcategory of the category of diffeological spaces, which contains smooth manifolds, the diffeomorphism subgroups and its coadjoint orbits. In these spaces we construct a tangent bundle, vector fields and a de Rham cohomology.

研究动机与目标

• 将微分几何结构（如切丛和向量场）从光滑流形推广至微分同胚空间类别。
• 识别一个在构建一致切丛理论所需构造下封闭的微分同胚空间子范畴。
• 为该子范畴中与切丛结构相容的德拉姆上同调理论提供定义。
• 为诸如微分同胚群及其余伴随轨道等无限维空间上的微积分提供一个框架。
• 在不依赖流形结构的前提下，将经典微分几​​何工具推广至非流形光滑空间，同时保持关键几何性质。

提出的方法

• 作者定义了一个包含光滑流形、微分同胚群及其余伴随轨道的微分同胚空间子范畴，确保其在相关构造下封闭。
• 利用微分同胚的函子结构和光滑曲线空间，将切丛构造为一个微分同胚空间。
• 向量场被定义为切丛的光滑截面，将流形上的概念推广至广义光滑空间。
• 通过切丛上的微分形式，利用标准外导数和闭/恰当形式分解，引入德拉姆上同调。
• 该构造依赖于内在的微分同胚结构，避免依赖流形坐标图或局部坐标。
• 通过证明其与光滑流形上标准构造的一致性，以及在所需运算下的封闭性，验证了该理论的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为包含无限维群的广泛微分同胚空间类定义一致的切丛？
• RQ2 如何将向量场和德拉姆上同调从光滑流形推广至微分同胚空间？
• RQ3 哪个微分同胚空间子范畴支持具有相容几何结构的明确定义的切丛？
• RQ4 该切丛构造是否与光滑流形上的标准微分几何相容？
• RQ5 该框架能否容纳微分同胚群及其余伴随轨道等重要几何对象？

主要发现

• 为包含光滑流形、微分同胚群及其余伴随轨道的微分同胚空间子范畴构建了明确定义的切丛。
• 向量场被定义为切丛的光滑截面，将经典概念推广至广义光滑空间。
• 为该子范畴建立了基于微分形式和外导数的德拉姆上同调理论。
• 该构造在光滑流形上保持了标准切丛结构，确保与经典微分几何的一致性。
• 该框架支持无限维微分同胚空间上的微积分，例如在几何力学和规范理论中出现的空间。
• 结果表明，关键的微分几​何工具可被推广至更广泛的光滑空间类别，而无需依赖流形结构。