[论文解读] A Tannakian Reconstruction Theorem for IndBanach Spaces

Kobi Kremnizer, Craig Smith|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过将经典的Tannaka-Krein对偶性推广到解析设置，利用收缩余极限和Ind-完备化，建立了IndBanach空间的Tannakian重构定理。关键贡献是一个适用于解析量子群、有界上同调和Galois下降的对偶性框架，其在非阿基米德泛函分析中对拓扑群和Iwasawa代数的表示具有明确应用。

ABSTRACT

Classically, Tannaka-Krein duality allows us to reconstruct a (co)algebra from its category of representation. In this paper we present an approach that allows us to generalise this theory to the setting of Banach spaces. This leads to several interesting applications in the directions of analytic quantum groups, bounded cohomology and galois cohomology. A large portion of this paper is dedicated to such examples.

研究动机与目标

• 将Tannaka-Krein对偶性从代数设置扩展到IndBanach空间范畴，克服Banach空间中经典余极限性质的失效。
• 在解析设置中，建立从其表示范畴重构余代数和双代数的框架。
• 将该理论应用于拓扑群的有界上同调、解析分次以及IndBanach范畴的Galois下降。
• 通过诱导函子建立光滑表示与IndBanach模之间的张量等价。
• 在IndBanach和Borel空间设置中定义并分析Iwasawa代数，特别是针对紧致Galois群。

提出的方法

• 使用Banach空间范畴的Ind-完备化以恢复余完备性，并支持余极限构造。
• 在Banach空间范畴中引入收缩余极限，以恢复向量空间在余极限下所具有的关键性质。
• 分别定义IndBanach模和IndBanach代数上的余模，以推广表示范畴。
• 应用Barr-Beck单子性定理，确立表示函子的余单子性，从而通过余单子实现重构。
• 构造从$L$-余模到$C^{\text{lu}}(G,k)$-余模的诱导函子$\text{Ind}_\phi$，并证明其在非阿基米德情形下是正合且完全忠实的。
• 将Iwasawa代数$\Lambda_A^{\text{Born}}(G)$定义为对开正规子群的极限，并通过Hom-函子建立其与$C^{\text{lu}}(\Gamma,L)$之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tannaka-Krein对偶性能否从代数设置推广到解析设置，特别是针对IndBanach空间？
• RQ2 如何通过IndBanach双代数上的余模重新解释拓扑群的有界上同调？
• RQ3 解析分次和过收敛幂级数在构造解析量子群中起什么作用？
• RQ4 IndBanach范畴的Galois下降与Iwasawa代数上的余模有何关系？
• RQ5 Iwasawa代数在何种意义上与紧致群上局部一致连续函数空间对偶？

主要发现

• 光滑表示范畴$\Gamma\text{-Mod}_L^{\text{sm}}$通过诱导函子$V \mapsto L\hat{\otimes}_K V$与$\text{IndBan}_K$张量等价。
• 诱导函子$\text{Ind}_\phi$是正合且忠实的，在非阿基米德情形下完全忠实，从而支持下降数据的重构。
• Banach空间Iwasawa代数$\Lambda_L^{\text{Ban}}(\Gamma)$作为$L$-模，同构于$C^{\text{lu}}(\Gamma,L)$的对偶。
• Borel空间Iwasawa代数$\Lambda_{L^a}^{\text{Born}}(\Gamma)$作为$L^a$-模，对偶于$C^{\text{lc}}(\Gamma,L^a) \cong L^a \otimes_K L^a$。
• $C^{\text{lu}}(G,k)$-余模上的余模结构对应于$\Gamma$在$L$上的作用，该作用为从$L$-IndBanach空间重构$K$-IndBanach空间提供下降数据。
• 拓扑群$G$的有界上同调可实现为$G\text{-Mod}^{\text{iso}}$上一个张量余单子函子的上同调，当$G$紧致时，该范畴等价于IndBanach双代数上的余模范畴。