[论文解读] A technique to composite a modified Newton's method for solving nonlinear equations

Miguel Grau Sánchez, José Luis Díaz Barrero|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文提出一种复合技术，通过将经典迭代方法与改进的牛顿法结合，在每次迭代中仅增加一次函数求值，从而提高求解非线性方程的迭代方法的效率。该方法提升了收敛阶和效率指数，实现更快的收敛速度，且计算开销几乎不变。

ABSTRACT

A zero-nding technique for solving nonlinear equations more eciently than they usually are with traditional iterative methods in which the order of convergence is improved is presented. The key idea in deriv- ing this procedure is to compose a given iterative method with a modied Newton's method that introduces just one evaluation of the function. To carry out this procedure some classical methods with dierent orders of convergence are used to obtain root-nders with higher eciency index.

研究动机与目标

• 提高求解非线性方程的迭代方法的收敛速度。
• 解决传统迭代方法每轮迭代需多次函数求值导致的低效问题。
• 开发一种在最小化额外计算成本的同时提高收敛阶的技术。
• 通过组合现有方法与改进牛顿法，实现更高的效率指数。
• 在不同收敛阶的经典迭代格式上，验证复合方法的有效性。

提出的方法

• 将给定的迭代格式与改进牛顿法组合，以提升收敛阶。
• 改进牛顿法在每次迭代中仅引入一次额外的函数求值。
• 组合过程保持原方法的结构，同时显著提升其收敛速率。
• 该技术被应用于牛顿-拉夫森法和哈雷法等经典迭代方法。
• 所得复合方法的收敛阶高于基础方法。
• 通过优化收敛阶与函数求值次数之间的平衡，提升了效率指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不显著增加计算成本的前提下，提高非线性方程迭代方法的收敛阶？
• RQ2 通过改进牛顿法引入一次函数求值，对根求解算法的整体效率有何影响？
• RQ3 该复合方法能否系统性地应用于经典迭代方法，以实现更高阶收敛？
• RQ4 与标准迭代格式相比，复合方法的效率指数如何？
• RQ5 在收敛速度与稳定性方面，所提方法与传统牛顿型方法相比表现如何？

主要发现

• 复合方法的收敛阶高于组合中所用的基础迭代方法。
• 每次迭代仅增加一次函数求值，便显著提升了收敛速率。
• 与标准牛顿型方法相比，所得根求解方法的效率指数得到提升。
• 该技术具有通用性，可应用于多种具有不同初始收敛阶的经典迭代格式。
• 通过最小化额外的函数求值次数，同时最大化收敛速度，该方法保持了计算效率。
• 数值结果表明，该复合方法在所测试的各类非线性方程中均表现出更快的收敛速度。